• Лекция № 1 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Кварковая модель. Калибровочный принцип. Цветовая группа SU(N). Изотопическая группа SU(2). Неприводимые представления изотопической группы. G-чётность. Гиперзаряд. Соотношение Гелл-Манна – Нисидзимы.

• Лекция № 2 (часть 1, часть 2).

  Унитарная симметрия. Флейворная группа SU(3). Свойства групп SU(3) и SU(N). Матрицы псевдоскалярных и векторных мезонов. Омега-фи (ω-φ) смешивание. Массовые формулы. Невылетание цвета. Мезоны и барионы. Мотивация для N_c = 3. Экзотические состояния. Эффективные лагранжианы адронных распадов.

• Лекция № 3 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Лагранжиан КХД. Правила Фейнмана для КХД. Фундаментальное и присоединённое представления. Элементы цветовой алгебры. Рассеяние кварка на кварке, кварка на антикварке, глюона на кварке, глюона на глюоне. Реджевская асимптотика сечений. Понятие о партонах.

• Лекция № 4 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Оценки для партонных и адронных сечений при рассеянии на большие углы. Пион-пионное, пион-нуклонное, нуклон-нуклонное рассеяние. Оценки для адронных формфакторов. Судаковский двойной логарифм. Теория возмущений в КХД. Перенормировка КХД в схеме MS. Размерная регуляризация. Параметризация Фейнмана. Интегрирование в D-мерном импульсном пространстве. Перенормировки полей КХД и функций Грина. Перенормировка заряда. Бета-функция (функция Гелл-Манна – Лоу) в КХД. Бета-функция в однопетлевом приближении. Асимптотическая свобода.

• Лекция № 5 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Бегущая константа связи. Уравнение Гелл-Манна – Лоу. Асимптотическая свобода. Лямбда КХД (Λ_QCD). Тяжёлые кварконии. Потенциал взаимодействия нерелятивистских кварков. Квантовые числа и распады кваркониев. Чармонии. J/ψ-мезон.

• Лекция № 6 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Сечения резонансов. Узкие резонансы. Учёт излучения фотона. Излучение в начальном состоянии (ISR). Модель векторной доминантности (МВД). Распады тяжёлых кваркониев. Соотношения между ширинами распада кваркониев. Сокращение расходимостей в достаточно инклюзивных процессах. Магнитно-дипольные распады мезонов. Масса кварка.

• Лекция № 7 (часть 1, часть 2).

  Токи векторных мезонов. МВД. Связь констант для ρ-, ω- и φ-мезонов. Формфактор π-мезона. Распад ρ-мезона в два π-мезона и в электрон-позитронную пару. Рассеяние лептонов на адронах. Глубоконеупругое рассеяние. Лептонный и адронный тензор. Структурные функции (W₁, W₂ и F₁, F₂). Упругое рассеяние: дираковские (саксовские) формфакторы. Электрические и магнитные формфакторы. Эксперименты по исследованию двухфотонного вклада. Бьёркеновский скейлинг. Слабая зависимость от Q². Асимптотическая свобода и партоны.

• Лекция № 8 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Глубоконеупругое рассеяние. Партонные функции распределения. Спин партонов. Соотношение Каллана-Гросса. Число партонов в партоне. Функции расщепления (ядра Альтарелли-Паризи). Уравнение (ДГЛАП) на партонные функции распределения при изменении Q². Функции расщепления в КХД. Валентные и "морские" кварки. Вклад виртуальных поправок в диагональные функции расщепления.

• Лекция № 9 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Уравнения эволюции ДГЛАП. Адронные струи. Функция фрагментации (доля адрона в партоне). Валентные и "морские" кварки. Меллиновские моменты партонных функций распределения. Решение уравнения ДГЛАП для несинглетных и синглетных моментов. Поведение моментов при j близких к 1. Проблема суммирования
  [α_s ln(1/x)]ⁿ при малых x. Область применимости уравнения ДГЛАП.

• Лекция № 10 (часть 1, часть 2).

  Константы связи в КЭД и КХД. Адронный тензор W_μν и его представление через коммутатор токов. Область вблизи светового конуса. Операторное разложение. Особенности вильсоновских коэффициентов. Твист оператора. Операторы твиста два. Связь тензора W_μν с амплитудой T_μν. Дисперсионный интеграл для T_μν и связь с моментами структурных функций (F_1,2). Матричные элементы локальных операторов и их зависимость от μ. Мультипликативная перенормировка операторов. Уравнение ренорм-группы. Аномальная размерность операторов. Зависимость вильсоновских коэффициентов от Q². Смешивание синглетных операторов при перенормировке. Связь аномальных размерностей с моментами ядер Альтарелли-Паризи.

• Лекция № 11 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Процессы электрон-позитронной аннигиляции в адроны. Инклюзивные сечения. Величина R. Адронный тензор R_μν. Ведущая роль малых расстояний. Связь полного сечения и R_μν. R в теории возмущений. Теорема Киношиты. Инфракрасные расходимости. Операторное разложение для R. Непертурбативные вклады. Нетривиальная структура вакуума КХД. Глюонный конденсат. Струйные события. Сечение для двух струй: виртуальные и реальные сингулярности. Дифференциальное сечение трёхструйного события. Сечения на пороге.

• Лекция № 12 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Процессы электрон-позитронной аннигиляции в адроны. Экспериментальное открытие глюона в струйных событиях. Инклюзивные спектры. Инклюзивное сечение процесса с образованием фиксированного адрона P. Представление сечения в партонной модели. Функции фрагментации (число адронов в партоне). Операторное разложение в следующем за главным логарифмическом приближении (СГЛП): неоднозначность, связанная с зависимостью от масштаба перенормировки. Уравнение на функции фрагментации. Вычисление множественности (среднее количество адронов типа P): переход к моментам M_j (Q²), сингулярность при x = 0, эффект когерентности излучения мягких глюонов, суммирование ряда теории возмущений в дважды логарифмическом приближении. Поведение моментов при j → 1. Эффект “горбатого плато” в области малых x в спектрах. Дисперсионные правила сумм. Вакуумные конденсаты. Нетривиальная структура вакуума КХД. Непертурбативные (невозмущенческие) эффекты. Дисперсионная связь R и P (поляризационного оператора). Необходимость введения глюонного конденсата.

• Лекция № 13 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Дисперсионное правило сумм для распада J/ψ-мезона: дисперсионные интегралы A_n, приближение узких резонансов, нахождение ширины распада J/ψ в e⁺e^-. Проблемы для A_n при больших n. Необходимость введения глюонного конденсата и его вклад в A_n. Пропагатор кварка в фоновом поле. Ренорм-инвариантность α_s (G^a_μν)². Правила сумм для ρ-мезонов. Изовекторный ток. Вклад в поляризационный оператор глюонного и кваркового конденсатов. Спонтанное нарушение симметрии. Теорема Голдстоуна. Спонтанное нарушение непрерывных симметрий. Механизм Хиггса. Киральная симметрия безмассового лагранжиана КХД. Псевдоголдстоуновские бозоны. Киральный (аксиальный) ток. Нуклонные матричные элементы кирального тока. Нуклонные матричные элементы аксиального тока: формфакторы g_a, h_a. Иллюстрация теоремы Голдстоуна: наличие π-мезонного полюса в формфакторе h_a.

• Лекция № 14 (часть 1, часть 2).

  Соотношение между формфакторами g_a и h_a. Бета-распад нейтрона и экспериментальные значения g_a. π-мезонный полюс матричного элемента аксиального тока, f_π, константа g_πNN. Вывод соотношения Голдбергера-Треймана (СГТ). Гипотеза частичного сохранения аксиального тока (ЧСАТ). Вывод СГТ из ЧСАТ. Кварковый конденсат. Редукционные формулы (связь матричных элементов с функциями Грина). Связь между массой π-мезонов, вакуумными конденсатами и массами u- и d-кварков. Формула Гелл-Манна-Окубо (массовая формула). Несколько слов о Великом Объединении, группа SU(5) .

• Лекция № 15 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Функциональные интегралы в квантовой механике: представление для функции Грина. Лагранжев и гамильтонов подход. Представление через функциональный интеграл коррелятора в квантовой теории поля (бозонные поля). Двухточечные корреляторы и гауссовы функциональные интегралы. Производящие функционалы для функции Грина. Источники. Функциональные производные. Грассманова алгебра. Грассмановы поля. Дифференцирование и интегрирование грассмановых полей. Гауссовы функциональные интегралы для грассмановых полей.

• Лекция № 16 (часть 1, часть 2).

  Ду́хи Фаддеева-Попова. Калибровочная инвариантность действия. Групповая мера для калибровочной группы. Инфинитезимальные калибровочные преобразования. Проблемы канонического квантования. Фиксация калибровки в функциональном пространстве, det[M]. Калибровочная инвариантность детерминанта. Факторизация бесконечной меры в функциональном интеграле. Введение ду́ховых полей для представления det[M]. Член, фиксирующий калибровку. Духи в КЭД. Духов член в лагранжиане для калибровки Лоренца.

• Лекция № 1 (часть 1, часть 2).

  Квантовая электродинамика (КЭД) – первая успешная квантовая теория поля. Лагранжиан свободного дираковского поля. Принцип калибровочной инвариантности. Фазовые (калибровочные) преобразования первого и второго рода. Электромагнитное поле как калибровочное. Абелевы и неабелевы калибровочные теории. Удлинение производной. Лагранжиан калибровочного поля, тензор напряжённости электромагнитного поля. Лагранжиан КЭД. Процедура канонического квантования. Проблема с каноническим импульсом, сопряжённым временной компоненте потенциала электромагнитного поля. Сохранение лоренц-инвариантности лагранжиана при каноническом квантовании: ввод члена, фиксирующего калибровку. Подпространство физических состояний.

• Лекция № 2 (часть 1, часть 2).

  Теория возмущений в квантовой механике, напоминание. Амплитуды переходов. Представление взаимодействия. Зависимость волновой функции в представлении взаимодействия от времени. T-упорядочение. S-матрица. U-матрица. Применимость теории возмущений. Нековариантная (шрёдингеровская) теория возмущений, её достоинства и недостатки. Ковариантная теория возмущений. Диаграммы и правила Фейнмана для КЭД. Элементы диаграмм и соответствующие сомножители в матричных элементах: вершина взаимодействия, пропагатор фотона, пропагатор фермиона, входящие и исходящие линии, интегрирование по петлевому импульсу, фермионные петли. Вычисление вероятностей и сечений. Сечение процессов 2 → 2. Борновское (древесное) приближение, первое неисчезающее приближение. Радиационные поправки к борновскому приближению.

• Лекция № 3 (часть 1, часть 2).

  Вероятность распада частицы. Фазовый объём конечных состояний. Сечение рассеяния. Процессы рассеяния во внешнем поле: лагранжиан взаимодействия, правила Фейнмана, плотность конечных состояний, сечение рассеяния. Поляризация начальных и конечных состояний. Спиновая волновая функция электрона. Эрмитовосопряжённый матричный элемент, сведение вычисления квадрата матричного элемента к вычислению следов. Полный набор в пространстве эрмитовых матриц 4×4. Поляризационные матрицы плотности для электрона и позитрона. Поляризация частиц в конечном состоянии. Поляризационное состояние фотонов, матрица плотности, параметры Стокса. Суммирование по поляризациям фотона, ковариантное (фейнмановское) суммирование с учётом калибровочной инвариантности (сохранения тока), сокращение вкладов временных и продольных фотонов. Кросс-инвариантность, различные каналы реакции, поведение поляризации при кроссинге.

• Лекция № 4 (часть 1, часть 2).

  Простейшие процессы КЭД. Рассеяние электрона во внешнем поле: диаграмма Фейнмана, матричный элемент, дифференциальное по углу вылета конечного электрона сечение рассеяния, нерелятивистский предел, ультрарелятивистский предел (подавление рассеяния назад и сохранение спиральности), расходимость полного сечения. Рассеяние электрона на скалярной частице e^-π^- → e^-π^-: правила Фейнмана для взаимодействия скалярных частиц с электромагнитным полем из принципа калибровочной инвариантности и принципа соответствия в нерелятивистском пределе, матричный элемент, учёт внутренней структуры скалярной частицы (π-мезона) или распределения заряда рассеивающего центра (формфактор), рассеяние назад, дифференциальное сечение в системе центра инерции, мандельстамовские переменные. Кросс-инвариантность: квадрат матричного элемента для процесса e⁺e^- → π⁺π^-, дифференциальное сечение в системе центра инерции, проявление закона сохранения спиральности в канале аннигиляции, зависимость сечения от скорости конечных π-мезонов.

• Лекция № 5 (часть 1, часть 2).

  Процессы электрон-пионного рассеяния e π → e π и аннигиляции e⁺e^- → π⁺π^- и измерение формфактора π-мезона. Формфактор π-мезона в канале аннигиляции вблизи ρ-мезона. Полное сечение вблизи векторного резонанса. Рассеяние электрона на протоне: вершина взаимодействия фотона с протоном, формфакторы протона. Сечение рассеяния электрона на протоне в борновском приближении (формула Розенблюта). Электрический и магнитный формфакторы протона. Поведение формфакторов с ростом передачи импульса, поведение отношения формфакторов. Поляризационные эксперименты по измерению отношения формфакторов. Противоречие между данными, полученными в поляризационных экспериментах и методом розенблютовского разделения. Диаграммы двухфотонного обмена. Разность сечений рассеяния электронов и позитронов на протоне. Кросс-канал аннигиляции e⁺e^- → pp, пороговое поведение сечений, роль кулоновского взаимодействия конечных частиц, связанные состояния ниже порога реакции, дифференциальное сечение. Сингулярности амплитуд и соотношение унитарности. Дифференциальное сечение реакций e μ → e μ и e⁺e^- → μ⁺μ^-, зависимость сечения аннигиляции от скорости мюонов, угловое распределение, полное сечение, сравнение с e⁺e^- → π⁺π^-, кулоновское взаимодействие частиц в конечном состоянии, фактор Зоммерфельда-Сахарова.

• Лекция № 6 (часть 1, часть 2).

  Электрон-электронное рассеяние: прямая и обменная диаграммы, дифференциальное сечение, нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы. Электрон-позитронное рассеяние: нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы. Роль этих процессов на ранних этапах развития КЭД и в настоящее время. Получение потенциальной энергии взаимодействия заряженных частиц с точностью до v²/c². Неоднозначность перехода от релятивистски инвариантного матричного элемента S-матрицы к нерелятивистской квантовомеханической амплитуде перехода. Удобство кулоновской калибровки.

• Лекция № 7 (часть 1, часть 2).

  Получение потенциальной энергии взаимодействия заряженных частиц в нековариантной теории возмущений из U-матрицы. Потенциальная энергия взаимодействия заряженных частиц в импульсном представлении: дарвиновские члены, члены типа взаимодействия токов по закону Био-Савара, спин-орбитальное взаимодействие, спин-спиновое взаимодействие. Потенциальная энергия взаимодействия в координатном представлении. Зависимость от знаков зарядов частиц. Электрон-позитронное взаимодействие: вклады аннигиляционной диаграммы, аннигиляционный потенциал. Потенциал электрон-позитронного взаимодействия в импульсном представлении.

• Лекция № 8 (часть 1, часть 2).

  Гамильтониан Брейта. Уровни энергии позитрония. Ортопозитроний и парапозитроний. Cвязь ширины распада орто- и парапозитрония с сечением аннигиляции электрон-позитронной пары в два и три фотона на пороге. Комптон-эффект. Аналогия с сечением рассеяния фотона на точечной заряженной скалярной частице: диаграммы Фейнмана, матричный элемент (построение диаграммной техники для скалярной электродинамики из требования калибровочной инвариантности), удобство системы покоя начальной частицы и выбора физических поляризаций фотонов, суммирование по физическим поляризациям фотонов. Переход к сечению рассеяния фотона на электроне. Сравнение поведения сечений рассеяния фотона на частице со спином 0 и 1/2 в нерелятивизме и ультрарелятивизме. Разложение амплитуды по парциальным волнам и кросс-инвариантность: энергетическая зависимость амплитуд и сечений при больших энергиях и фиксированных передачах импульсов (реджевская асимптотика).

• Лекция № 9 (часть 1, часть 2).

  Асимптотика амплитуды в реджевском пределе из фейнмановских диаграмм: грибовское разложение метрического тензора для обмена фотоном в t-канале, обмен скалярной и спинорной частицей. Процесс фотон-фотонного рассеяния: теорема Фарри, поведение амплитуды и сечения при малых энергиях, качественное поведение сечения с ростом энергии. Приближённые методы: факторизация сечения на жёсткую (на малых пространственно-временных масштабах) и мягкую часть(на больших пространственно-временных масштабах). Рассеяние электрона во внешнем поле, сопровождающееся излучением фотонов: матричный элемент без излучения, матричный элемент для рассеяния с излучением фотона, мягкофотонное приближение, факторизация матричного элемента, фурье-образ тока рассеивающегося электрона, сечение процесса рассеяния с излучением мягкого фотона, вероятность излучения одного фотона в борновском приближении. Обобщение на случай рассеяния произвольного числа начальных и конечных частиц. Обобщение на случай излучения нескольких фотонов. Связь с классическим выражением для спектральной плотности излучения. Проинтегрированная по углам вероятность излучения фотона (спектральная плотность): фейнмановское правило суммирования по поляризациям, удобные системы отсчёта для вычисления интегралов по углам, поведение в нерелятивистском и ультрарелятивистском пределах, существенная область углов излучения фотонов, роль интерференции между излучением фотона начальным и конечным электроном.

• Лекция № 10 (часть 1, часть 2).

  Проинтегрированная по углам вероятность излучения мягкого фотона. Расходимость при интегрировании по частоте фотона. Переосмысление теории возмущений, неправильность постановки задачи о вычислении сечений с определённым конечным состоянием, отсутствие процессов с участием заряженных частиц без излучения фотонов. Инфракрасные расходимости, регуляризация введением массы фотона, размерная регуляризация. Суммирование радиационных поправок, связанных с виртуальными мягкими фотонами, во всех порядках теории возмущений. Среднее число реальных мягких фотонов, вероятность излучения определённого числа фотонов, пуассоновское распределение по числу излучённых фотонов. Сокращение инфракрасных расходимостей. Смысл борновского сечения как сечения процесса с излучением любого числа фотонов. Физически наблюдаемое сечение. Пределы применимости мягкофотонного приближения в виртуальных поправках и экспериментальные ограничения на частоту фотона в реальных поправках. Особые случаи: процесс аннигиляции e⁺e^- с рождением резонансов, аккуратный учёт излучения в начальном состоянии.

• Лекция № 11 (часть 1, часть 2).

  Партонные приближения: приближения эквивалентных фотонов и квазиреальных электронов. Существенность больших расстояний за счёт коллинеарности. Характерные временные интервалы различных процессов. Факторизация матричного элемента S-матрицы. Выражение для сечения процесса в партонном приближении, dn^b_a – число партонов типа b в частице типа а. Партонные распределения в КЭД: число фотонов в электроне dn^γ_e, число электронов в электроне dn^e_e, число электронов в фотоне dn^e_γ и связь между ними. Приближение Вайцзеккера-Вильямса (эквивалентных фотонов). Процессы с участием ядер, частиц со спином 0. Двухфотонные процессы рождения на встречных электрон-позитронных пучках: дифференциальное сечение процесса, поведение полного сечения с энергией.

• Лекция № 12 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Радиационные поправки. Инфракрасные и ультрафиолетовые расходимости петлевых интегралов. Физически наблюдаемые значения массы и заряда и "голые" параметры, входящие в лагранжиан, процедура перенормировки. Перенормируемые и неперенормируемые теории. Одночастично неприводимые диаграммы. Функция Грина, ампутированная функция Грина, полная функция Грина. Двухточечные функции Грина: пропагаторы, собственноэнергетическая часть, массовый оператор. Массовый оператор для электрона. Поляризационный оператор фотона. Индекс расходимости диаграмм. Размерность ампутированной функции Грина и амплитуды в КЭД, связь с безразмерностью константы связи. Ультрафиолетово расходящиеся диаграммы в КЭД. Полная функция Грина для электрона. Полная функция Грина для фотона, поперечная и продольная часть поляризационного оператора. Способы регуляризации ультрафиолетовых расходимостей. Перенормировка на массовой поверхности, физическая масса электрона как полюс пропагатора, перенормированный массовый оператор электрона, константа перенормировки Z₂. Калибровочная инвариантность и безмассовость фотона при перенормировке, перенормированный поляризационный оператор, константа перенормировки Z₃. Перенормировка вершинной функции, константа перенормировки Z₁. Перенормированный заряд электрона.

• Лекция № 13 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Перенормировка заряда и массы в КЭД, напоминание. Зависимость процедуры перенормировки от выбора точки перенормировки. Соотношение между константами перенормировки Z₂ = Z₁, как следствие калибровочной инвариантности. Разностное тождество Уорда, проверка в борновском приближении, схема доказательства во всех порядках теории возмущений. Дифференциальное тождество Уорда и доказательство соотношения Z₂ = Z₁. Поведение поляризационного оператора (константы перенормировки Z₃). Нуль-зарядная ситуация. Развитие теории возмущений с использованием физических заряда и массы при введении контрчленов. Бегущая константа связи.

• Лекция № 14 (часть 1, часть 2).

  Поляризационный оператор фотона в однопетлевом приближении. Размерная регуляризация, точка перенормировки, процедуры перенормировки MS, MS. Введение фейнмановских параметров при вычислении петлевых интегралов. D-мерное интегрирование. Перенормированный поляризационный оператор в однопетлевом приближении в КЭД. Определение поляризационного оператора P(k²) по значению его мнимой части на разрезе вдоль действительной оси, дисперсионное соотношение с вычитанием. Правило Куткоского для вычисления мнимых частей амплитуд. Связь вклада мюонов в поляризационный оператор с сечением аннигиляции e⁺e^- → μ⁺μ^-. Вклад адронов в поляризационный оператор.

• Лекция № 15 (часть 1, часть 2).

  Вершинная функция с учётом радиационных поправок. Аномальные магнитные моменты электрона и мюона. Лэмбовский сдвиг: асимптотика вершинной функции, поправка к потенциальной энергии взаимодействия в атоме водорода.

• Лекция № 1 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Вводная лекция. Иерархия времён сильных, электромагнитных и слабых распадов. Основная цель курса – слабые распады преимущественно в борновском приближении, Стандартная модель в целом. Общее напоминание про КХД. Лагранжиан КХД. Симметрии лагранжиана КХД. Калибровочная симметрия. Внешние симметрии: флейворная симметрия SU(N_F). Правые и левые спиноры. Киральность и спиральность. Киральная симметрия SU(N_F)_L⊗ SU(N_F)_R для безмассовых кварков. Иерархия по реальным массам кварков и лептонов. Изотопическая симметрия сильного взаимодействия. Точность изотопической симметрии. Симметрии лагранжианов и вакуумных состояний: отличие КЭД и КХД. Спонтанное нарушение симметрии. Динамические массы кварков и связь непертурбативных эффектов с точностью изотопической симметрии.

• Лекция № 2 (часть 1, часть 2).

  Киральная и векторная симметрии лагранжиана КХД. Параметры нарушения этих симметрий. Лагранжиан Стандартной модели. Калибровочные симметрии лагранжиана и калибровочные поля. Слабый изоспин. Поля материи. Семейства кварков и лептонов. Появление массы в лагранжиане. Скалярное поле Хиггса. Потенциал хиггсовского поля. Юкавский тип взаимодействия кварков и лептонов с хиггсовым полем.

• Лекция № 3 (часть 1, часть 2).

  Псевдореальные представления в группе SU(2). Механизм возникновения масс частиц. Спонтанное нарушение симметрии. Примеры явного нарушения симметрии. Примеры спонтанного нарушения симметрии: скалярное вещественное поле, комплексное скалярное поле. Теорема Голдстоуна.

• Лекция № 4 (часть 1, часть 2).

  Спонтанное нарушение симметрии. Примеры с ферромагнетиком и кристаллом. Механизм Хиггса. Пример массивной скалярной электродинамики, связь с моделью сверхпроводимости. Хиггсовский механизм в Стандартной модели: применение теоремы Голдстоуна, безмассовый фотон.

• Лекция № 5 (часть 1, часть 2).

  Хиггсовский механизм в Стандартной модели: массы векторных бозонов, угол Вайнберга, соотношение Q=T₃+Y/2, соотношения между константами взаимодействия, массами калибровочных бозонов и углом Вайнберга. История лагранжиана Стандартной модели: замечание о теории Дж. Глэшоу (без нейтральных токов), нейтральные слабые токи. Взаимодействие хиггсовского бозона с фермионами. Два типа взаимодействия Юкавы – массы верхних и нижних кварков. Обобщение юкавского взаимодействия: массовые матрицы для верхних и нижних кварков, диагонализация массовых матриц, появление матрицы Кабиббо-Кабаяши-Маскавы (CKM) для заряженных токов.

• Лекция № 6 (часть 1, часть 2).

  Лагранжиан электрослабой теории (без хиггсовского сектора и лептонной матрицы смешивания). Константы g_V и g_A. Диагонализация массовой матрицы. Матрица Кабиббо-Кабаяши-Маскавы. Параметризация матрицы CKM через 4 параметра. Два флейвора. Угол Кабиббо. Приближённая параметризация Вольфенштейна. Треугольник унитарности. Углы α, β, γ. Дискретные симметрии лагранжиана электрослабой теории. История электрослабой теории: нарушение P-чётности.

• Лекция № 7 (часть 1, часть 2).

  Нарушение P- и CP-чётности. Процессы первого порядка. Вычисление ширины распада W-бозона на электрон и антинейтрино. Ширина распада t-кварка на W-бозон и b-кварк.

• Лекция № 8 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Полная ширина распада W-бозона. КХД-поправки к данному распаду. Ширина распада Z-бозона. Слабые процессы второго порядка. Рассеяние электрона на кварке. Схема вычисления ширины распада мюона на электрон, электронное антинейтрино и мюонное нейтрино. Константа Ферми. Лагранжиан Ферми. Лептонные слабые процессы. Распад π-мезона на электрон и электронное антинейтрино, а также мюон и мюонное антинейтрино. Адронные матричные элементы. Константа f_π. Отношение электронной и мюонной ширин. Качественное объяснение пропорциональности этого отношения квадратам масс.

• Лекция № 9 (часть 1, часть 2).

  Анализ формулы для ширины распада мюона на электрон, электронное антинейтрино и мюонное нейтрино. Полная ширина распада τ-лептона. Анализ формулы для лептонной ширины распада π-мезона. Распады псевдоскалярных мезонов (π^-, K^-, D^-, B^-) на лептонную пару: f_π и f_K, отношение ширин распада K^- в лептон и антинейтрино и π^- в лептон и антинейтрино, предел SU(3) изотопической симметрии. Распад заряженного векторного мезона на лептонную пару (лептон и нейтрино). Распад ρ^-. Константа f_ρ. Отсутствие подавления по спиральности. Трудности экспериментального наблюдения слабого распада ρ^-. Распад τ-лептона на π (ρ) и антинейтрино (ν_τ).

• Лекция № 10 (часть 1, часть 2).

  Распад τ^- → ρ^- + ν_τ. Вычисление ширины. Метод измерения f_ρ: процесс ρ⁰ → e⁺ e^-, матричный элемент электромагнитного тока с ρ⁰ и вакуумом. Использование изотопической симметрии для связи “сильных” матричных элементов.

• Лекция № 11 (часть 1, часть 2).

  Нахождение фундаментальных параметров сильной и электрослабой теории. Полулептонные процессы. Бета-распад π-мезона: ширина распада π^- → π⁰ + e^- + ν_e. Вычисление адронного матричного элемента, входящего в амплитуду этого распада. Формфакторы f₊(q²) и f_-(q²). Изотопическая симметрия и дивергенции векторных токов. Подавление формфактора f_- в изотопическом пределе. Вычисление формфактора f₊(q²=0) = √2 в изотопическом пределе. Анализ ответа для ширины распада π^- → π⁰ + e^- + ν_e : подавление множителем из фазового объёма, независимое измерение V_ud, пион-бета эксперимент. Распад K^- → π⁰ + e^- + ν_e : точность SU(3) флейворной симметрии при вычислении f₊(q²=0).

• Лекция № 12 (часть 1, часть 2).

  Полулептонные распады B-мезонов. Приближение тяжёлых кварков. Спектатор. Распад B → D + l + ν_l. Адронный матричный элемент, входящий в эту амплитуду. Формфакторы f₀, f_-, f₊. Их связь в крайних кинематических точках. Оценка отличия масс псевдоскалярного и векторного В-мезонов (сверхтонкое расщепление). Инклюзивные распады В-мезонов: ширина B → l + ν_l + X, КХД-поправка и поправка на энергию связи. Метод определения V_cb : сравнение эксклюзивных и инклюзивных методов.

• Лекция № 13 (часть 1, часть 2).

  Полулептонный распад B → π⁰ + l + ν_l. Физический смысл формфакторов адронных матричных элементов. Бета-распад нейтрона: n → p + e^- + ν_e. Анализ адронного матричного элемента: 4 формфактора, относительный вклад разных формфакторов, разложение их в нуле. Вычисление f₁(0)=1 с использованием изотопической симметрии. Правила сумм Адлера для нахождения g₁(0). Константа g_πNN. Вывод соотношения Голдбергера-Треймана (связь g₁(0), g_πNN и f_π) дивергенция аксиального тока и связь g₁(q²) и g₂(q²) в киральном SU(2) пределе, полюсной вклад π-мезона в формфактор g₂(q²) при вычислении аксиальной части адронного матричного элемента.

• Лекция № 14 (часть 1, часть 2).

  Экспериментальное и теоретическое значения g_πNN и g₁(0). Адронные матричные элементы электромагнитного тока по протону и нейтрону: электромагнитные формфакторы протона и нейтрона, связь этих формфакторов сf₁(0) и f₂(0). Способы извлечения V_ud : бета-распад протона и ядерные распады (сверхразрешённые распады). Бета-распады гиперонов. Распады с изменением странности, высокая точность SU(3) флейворной симметрии. Нелептонные слабые распады. Распад K^- → π^- + π⁰. Приближение факторизации. Распад B^- → π^- + π⁰. Приближение факторизации и поправки по Λ_QCD/M_b. Получение эффективного лагранжиана для нелептонных распадов. Учёт глюонных поправок в приближении ведущих логарифмов. Операторное смешивание при перенормировке. Мультипликативно перенормируемые комбинации двух операторов эффективного лагранжиана.

• Лекция № 15 (часть 1, часть 2).

  Оценки для нелептонных распадов в приближении факторизации на примере распадов: 1) B^- → D⁰ + π^-, 2) B⁰ → D⁺ + π^-, 3) B⁰ → D⁰ + π⁰. Применение тождеств Фирца в эффективном лагранжиане с операторами O₁ = d(1-γ₅)γ^μuc(1-γ₅)γ_μb и O₂ = c(1-γ₅)γ^μu d(1-γ₅)γ_μb. Связь ширин нелептонных распадов в приближении факторизации с формфакторами полулептонных распадов. Зависимость полулептонных формфакторов от передачи импульса: полюсное приближение (резонансные вклады). Численные значения для формфакторов.

• Лекция № 16 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Древесные и пингвинные диаграммы. Механизм появления правых кварков в пингвинных операторах. Четырёхфермионные пингвинные операторы. Магнитные пингвинные операторы. Эффективный лагранжиан с пингвинными операторами. Коэффициенты C₄ и C₆. Распад B⁰ → K^- + π⁺ - анализ древесных и пингвинных вкладов. Электрослабые пингвинные диаграммы (с Z⁰-бозоном).

• Лекция № 17 (часть 1, часть 2).

  CP-нарушение. Параметризация CP-нарушения в матрице CKM: параметры β и γ. Типы CP-нарушения: прямое CP-нарушение и CP-нарушение за счёт смешивания нейтральных мезонов. B⁰-B⁰ осцилляции во втором порядке теории возмущений: ΔF = 2 переходы (изменение флейвора на 2). Прямое CP-нарушение. Распад B^- → K^- + π⁰ и B⁺ → K⁺ + π⁰. Трудности описания сильных (CP-чётных) фаз амплитуды. Древесные и пингвинные вклады. Разность парциальных ширин распадов B^- → K^- + π⁰ и B⁺ → K⁺ + π⁰. CP-нарушение за счёт смешивания нейтральных мезонов. Массовая матрица для B⁰-B⁰ смешивания. Матричный элемент M₁₂ в приближении факторизации. Разности масс для собственных состояний массовой матрицы. Соотношение унитарности, мнимая часть массовой матрицы, ширины распадов B-мезонов. B-фабрики и определение угла β. Золотая мода. Распад B⁰→ J/ψ + K_S (B⁰ → J/ψ + K_S). Малость пингвинных вкладов в золотой моде. Тагирующая мода в распадах B⁰ и B⁰.

Первые 18 лекций читались весной 2013 г.

• Лекция № 19 (часть 1, часть 2).

  Чисто бозонная CP-N модель (окончание). 
  Механизм возникновения массы у полей nⁱ (i = 1…N): вспомогательное поле λ даёт массу полям nⁱ. Появление кинетического члена для первоначально вспомогательного поля фотона A_μ. Линейный рост потенциала в статическом пределе и конфайнмент заряда в двух измерениях. Конфайнмент заряда и нейтральный характер спектра состояний.

  CP-N модель с фермионами. 
  Безмассовый фермионный член. Фермионный вклад в массу фотона. Экранировка кулоновского потенциала и, как следствие, разрушение конфайнмента (т.е. "невылетания" полей nⁱ). Это характерная особенность двумерности модели. Бозонизация фермионов в двух измерениях (S. Coleman): введение нейтрального поля φ. Возникновение массы поля φ при интегрировании по фотонному полю. Модель синус-Гордона (sine-Gordon). Массивные солитонные решения типа "кинк" и фермионное поле. θ-член и петля Вильсона, θ = 2πq и линейный рост потенциала. Модификации линейного потенциала при наличии массивных полей nⁱ, а также исчезновение зависимости от θ и разрушение конфайнмента при наличии фермионов.

  Суперсимметричная CP-N модель с фермионами. 
  Дополнительная связь n_i^*Ψⁱ = 0 и дополнительные вспомогательные поля (σ, π, χ) в лагранжиане и четырёхфермионное взаимодействие. Интегрирование по фермионным степеням свободы. Вакуумные средние вспомогательных полей в экстремуме. Возникновение масс и кинетических членов у вспомогательных полей σ. Появление за счёт этого массы у фермионов, фотон остаётся безмассовым. Разложение по N >> 1 в эффективном лагранжиане. Возникновение кинетического члена для вспомогательных полей π. Конфайнмент. Введение θ-члена, рождение пар n-n, Ψ-Ψ и модификация линейного потенциала.

  Трёхмерная модель Джорджи-Глэшоу. Анонс. 
  Бозонная часть лагранжиана. История возникновения: в четырёх измерениях кандидат на теорию слабых взаимодействий до обнаружения нейтральных токов.

• Лекция № 20 (часть 1, часть 2).

  Инстантоны в двумерной электродинамике с полем Хиггса, потенциал V = λ (φ^†φ – φ₀²)². Явление Хиггса в этой модели, вакуум скалярного поля φ₀. Тривиальные и топологические калибровки. Топологический заряд Q. Инстантонные конфигурации поля A_μ(x). Малый параметр 1/φ₀ << 1. Классические уравнения на поля φ и A_μ(x), их решения и асимптотики. Суммирование вкладов инстантонов в статсумме (функциональный интеграл по квантовым флуктуациям вокруг классического решения). Ковариантная производная в инстантонном фоновом поле. Разрежённый инстантонный газ. Отличие инстантонов от солитонов. Инстантон в двух измерениях как солитон в трёх измерениях. Статсумма идеального газа инстантонов и антиинстантонов для лагранжиана с θ-членом. Коллективные координаты (положение центра инстантона) и нулевые моды. Непертурбативная добавка к лагранжиану. Петля Вильсона и угол θ = 2πZ, Z – заряд тяжёлой пары заряд-антизаряд. Натяжение струны и потенциал взаимодействия тяжёлой пары: восстановление конфайнмента (несмотря на присутствие массивного фотона) за счёт инстантонного вклада.

  Трёхмерная модель Джорджи-Глэшоу и качественные явления в ней (продолжение). 
  Инстантон в трёхмерии как монополь (солитон) в четырёх измерениях (интерпретация топологического заряда как магнитного потока).

• Лекция № 21 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Лагранжиан модели Джорджи-Глэшоу: калибровочная группа SU(2), триплет скаляров и триплет калибровочных бозонов. Вакуум поля φ(x): φ₀δ^{i 3}. Явление Хиггса: поглощение голдстоуновских бозонов и появление у двух калибровочных бозонов (аналоги W^±) масс μ_W ∼ φ₀. Далее рассматриваем случай, когда μ_W/e² >> 1 и λ ∼ e². Низкоэнергетический лагранжиан абелевой U(1) теории: введение скалярного поля γ(x), описывающего фотон в трёх измерениях.

  Непертурбативные эффекты. Введение плотности топологического заряда. Инстантоны в трёхмерии как магнитные монополи в четырёх измерениях. Монополи 'т Хоофта-Полякова для четырёхмерной модели. Оценка действия на инстантонном вкладе. Статсумма и квантовые флуктуации вокруг инстантонного вклада. Нулевые моды: положения центра инстантона. θ-член в лагранжиане. Вклад разрежённого инстантон-антиинстантонного газа в статсумму. Сдвиг энергии вакуума E₀ = –μ₀³cos(θ).

  Учёт эффекта взаимодействия инстантонов. Описание кулоновского взаимодействия инстантонов членом ρ(x)γ(x) с дельта-функционной плотностью ρ(x) в низкоэнергетическом лагранжиане. Евклидовский низкоэнергетический лагранжиан (типа sine-Gordon), появление у поля фотона γ(x) экспоненциально подавленной "дебаевской" массы μ_γ² ∼ μ₀³/e², экранирование внешних магнитных зарядов (монополей). Взаимодействие двух внешних тяжёлых электрических зарядов, внесённых в газ (магнитных) инстантонов. Образование струны длиной R и шириной ∼μ_γ^-1. Солитонные топологические решения (типа кинка) для γ(x) в присутствии внешних электрических зарядов. Вклад δE₀ ∼ e² μ_γ R в энергию взаимодействия внешних зарядов: изменение логарифмического характера конфайнмента, обеспечиваемого первоначально безмассовым полем γ(x), на линейный за счёт газа инстантонов.

• Лекция № 22 (часть 1, часть 2, часть 3).
• Лекция № 23 (часть 1, часть 2).
• Лекция № 24 (часть 1, часть 2).
• Лекция № 25 (часть 1, часть 2, часть 3).

• Лекция № 1 (часть 1, часть 2).

  Введение: элементарные частицы и их взаимодействия. 
  Частицы. Взаимодействия. Три поколения лептонов и кварков. Кварки и адроны. Понятие о квантовой теории поля. Перечислены основные типы частиц и их взаимодействий. "Фундаментальные частицы": лептоны и кварки (l и q), спин J = 1/2; калибровочные векторные бозоны (γ, W⁺, W^-, Z⁰, g), J = 1 и скалярный бозон Хиггса (H), J = 0. Понятие об электрослабом, сильном и гравитационном взаимодействиях. 
  Квантование электромагнитного поля. 
  Электромагнитное поле как набор осцилляторов.

• Лекция № 2 (часть 1, часть 2).

  Квантование ЭМ поля. Рождение и уничтожение квантов поля. Используя правила квантования обычного осциллятора, проводим процедуру квантования осцилляторов поля. Операторы векторного потенциала и напряжённости полей в шрёдингеровском и гайзенберговском представлении. Энергия и импульс электромагнитного поля становятся суммами операторов Шрёдингера и операторов импульса для отдельных квантов – фотонов. Оператор числа квантов с заданным импульсом и спиральностью. Матричные элементы оператора, соответствующие излучению или поглощению одного фотона. Спонтанное и вынужденное излучение. Тот факт, что вероятность вынужденного излучения оказывается в (n_k,λ+1) раз больше, чем вероятность спонтанного излучения, является фундаментальным для физики лазеров.

• Лекция № 3 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Лагранжев подход в теории поля. 
  Уравнения Лагранжа. В классической механике функция Лагранжа L(q, q'_t ) зависит от обобщённых координат и обобщённых скоростей, в классической теории поля вводится плотность функции Лагранжа, а роль обобщённых координат q играют поля: A_μ(x) в электродинамике, Φ(x) – для действительного скалярного поля, φ(x) и φ^*(x) – для комплексного скалярного поля, Ψ_i(x) и Ψ_i(x) – для спинорного поля Дирака и т.д. Требования к плотности функции Лагранжа: локальность, т.е. L зависит от q и конечного числа производных от q; L – действительная функция, чтобы энергия и импульс были действительными, а S-матрица унитарной; L – лоренц-инвариантная функция. Вывод уравнений Лагранжа из принципа наименьшего действия. 
  Симметрия и законы сохранения. 
  Теорема Нётер в классической механике и в классической теории поля.

• Лекция № 4 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Симметрия и законы сохранения (окончание). 
  Два важных примера применения теоремы Нётер. Первый пример: из однородности пространства-времени следует, что вид действия не изменяется при сдвиге 4-координат. В этом случае теорема Нётер гарантирует сохранение импульса-энергии. Второй пример: если имеет место калибровочное преобразование первого рода, то из теоремы Нётер следует сохранение заряда. 
  Действительное скалярное поле. 
  Плотность функции Лагранжа действительного скалярного поля выбираем так, чтобы уравнение Лагранжа совпадало с уравнением Клейна-Фока-Гордона. Разложение действительного скалярного поля в ряд Фурье по плоским волнам. Связь между энергией и импульсом.

• Лекция № 5 (часть 1, часть 2).

  Действительное скалярное поле (окончание). Квантование действительного скалярного поля. Правила квантования для осцилляторов поля, соответствующие статистике Бозе-Эйнштейна приводят к разумному результату. Если бы мы выбрали правила квантования, соответствующие статистике Ферми-Дирака, то получили бы бессмысленный результат – оператор энергии поля H вообще не зависел бы от n_p. 
  Комплексное скалярное поле. 
  Плотность функции Лагранжа комплексного скалярного поля. Плотность энергии поля, ток и заряд поля. Квантование комплексного скалярного поля. Частицы и античастицы. Определение зарядового или C (charge)-преобразования. C-, P-, T-преобразования комплексного скалярного поля.

• Лекция № 6 (часть 1, часть 2, часть 3).

  C-, P-, T-преобразования комплексного скалярного поля (окончание). Определение пространственного отражения или P (parity)-преобразования. Преобразование операторов поля. Тот факт, что операторы рождения (уничтожения) частиц и античастиц преобразуются одинаково, означает, что внутренние чётности частиц и античастиц скалярного поля одинаковы. Преобразования собственной группы Лоренца и отражение всех четырёх осей. Отражение времени или T (time)-преобразование. Понятие о CPT теореме. 
  Спинорное поле Дирака. 
  Уравнение Дирака. Биспиноры. Плоские волны. Квантование спинорного поля. Чтобы выражение для оператора энергии спинорного поля H имело смысл, необходимо квантовать по Ферми-Дираку.

• Лекция № 7 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Спинорное поле Дирака (окончание). Заряд, частицы и античастицы. 
  Представление взаимодействия. 
  В шрёдингеровском представлении операторы физических величин не зависят от времени, а зависящий от времени вектор состояния поля удовлетворяет уравнению Шрёдингера. В гайзенберговском представлении вектор состояния поля не зависит от времени, а от времени зависят операторы, что делает это представление очень удобным для явно ковариантного описания. Понятие о представлении взаимодействия. Это представление удобно, так как: 1) при выключении взаимодействия оно переходит в гайзенберговское представление, которое мы используем для ковариантного описания операторов полей; 2) в этом представлении вектор состояния удовлетворяет уравнению, в котором правая часть содержит малый параметр, что очень удобно для построения теории возмущений. Инвариантная теория возмущений. Решение уравнения для векторов состояния в представлении взаимодействия в виде ряда теории возмущений. Оператор упорядочивания по времени. 
  Амплитуды и вероятности переходов. 
  Амплитуда рассеяния. Связь S-матрицы S_fi и амплитуды рассеяния M_fi.

• Лекция № 8 (часть 1, часть 2).

  Ширина распада. Сечение рассеяния. Связь вероятности распада частицы в единицу времени (или ширины распада) с амплитудой рассеяния. Соударения двух частиц. Плотность потока. Сечение рассеяния. Инвариант Мёллера. 
  Первый порядок теории возмущений. 
  Взаимодействие частиц комплексного скалярного поля Φ(x) и действительного скалярного поля φ(x) вида gφ⁺ˆφˆΦˆ.

• Лекция № 9 (часть 1, часть 2).

  Взаимодействие g Ψˆ Ψˆ Φˆ . 
  Распад хиггсовского бозона. В Стандартной Модели спинорное поле Ψ(x) описывает лептон или кварк, а действительное скалярное поле Φ описывает хиггсовский бозон H. Процессы e^- в e^-H и H в e⁺e^-. Образование бозона Хиггса H в e⁺e^-- и μ⁺μ^--соударениях. 
  Квантовая электродинамика (КЭД). 
  Правила для диаграмм Фейнмана. Отличие от процессов, рассмотренных в предыдущем разделе для взаимодействия gΨˆ Ψˆ Φˆ, заключается в векторном характере тока Ψ γ ^μ Ψ и переходе от действительного скалярного поля Φ к векторному полю A^μ. Процессы e^- в e^-γ и γ в e⁺e^-. Учёт градиентного преобразования 4-потенциала A^μ. Диаграммы Фейнмана.

• Лекция № 10 (часть 1, часть 2).

  Второй порядок теории возмущений для взаимодействия g φ⁺ˆ φˆ Φˆ. 
  Переменные Мандельстама. Во втором порядке интересно рассмотреть процессы рассеяния частиц, аннигиляцию заряженных частиц π⁺π^- → π⁰π⁰ и их образование в соударениях нейтральных частиц, π⁰π⁰ → π⁺π^-. Диаграммы Фейнмана и амплитуда рассеяния для процесса π^-π^- → π^- π^-. Для описания таких процессов удобны специальные инварианты – переменные Мандельстама s = (p₁ + p₂)², t = (p₁ – p₃)², u = (p₁ – p₄)². 
  Пропагатор скалярной частицы. 
  Явный вид пропагатора в импульсном и координатном представлении. Пропагатор как функция Грина уравнения Клейна-Фока-Гордона. Понятие о виртуальных частицах. В отличие от начальных и конечных частиц, для 4-импульсов которых справедливо равенство p_i² = m(π_i)², i = 1, 2, 3, 4, для промежуточных (виртуальных частиц) частиц k² ≠ m(π₀)².

• Лекция № 11 (часть 1, часть 2).

  Понятие о виртуальных частицах (окончание). Для виртуальных частиц ε²(k) = ∑_i k_i²+ m(π₀)² ≠ k₀². Величина k² – m(π₀)² называется виртуальностью данной промежуточной частицы. Виртуальность характеризует отклонение частицы от массовой поверхности k² = m(π₀)². При малой виртуальности промежуточные частицы могут пролетать большие расстояния. Пример процесса e⁺e^- в e⁺e^-γ, в котором оказалось необходимо учитывать тот факт, что прицельные расстояния сталкивающихся частиц могут оказаться существенно больше поперечных размеров встречных пучков (МД-эффект). Процессы π⁰π^- → π⁰π^- и π⁺π^- → π⁰π⁰. Диаграммы Фейнмана и амплитуда рассеяния для этих процессов. 
  Второй порядок теории возмущений в КЭД. 
  Диаграммы Фейнмана для процесса e^-e^- в e^-e^-.

• Лекция № 12 (часть 1, часть 2).

  Рассеяние электронов. Фотонный пропагатор. Амплитуда рассеяния для процесса e^-e^- в e^-e^-. Вычисление фотонного пропагатора в импульсном представлении. Калибровка Фейнмана.

  Процесс аннигиляции e⁺e^- → μ⁺μ^-. Амплитуда рассеяния этого процесса. Вычисление квадрата амплитуды рассеяния, просуммированного по спиновым состояниям частиц. Дифференциальное и полное сечения процесса. Случай высоких энергий.

• Лекция № 13 (часть 1, часть 2).

  Процессы e⁺e^- → qq и e⁺e^- → hadrons при высоких энергиях. Аннигиляция электрона и позитрона в пару кварков. Процесс e⁺e^- в адроны при s >> 4m_a² в низшем порядке может быть описан как рождение q_aq_a пары на малых расстояниях 1/√s и дальнейшая адронизация (с вероятностью 100%) кварков в адроны. 
  Величина R = σ(e⁺e^- → hadrons)/σ(e⁺e^- → μ⁺μ^-}, сравнение с экспериментом. Процесс eμ-рассеяния (eμ → eμ) и перекрёстная симметрия. Связь процесса упругого рассеяния электрона на мюоне и процесса аннигиляции электрон-позитронной пары в пару мюон-антимюон. Упругое рассеяние релятивистского электрона на внешнем кулоновском поле. Процесс γe-рассеяния (γe → γe). Электронный пропагатор. Диаграммы Фейнмана для процесса γe → γe.

• Лекция № 14 (часть 1, часть 2).

  Электронный пропагатор (окончание). Вычисление электронного пропагатора в импульсном представлении с использованием того факта, что он является функцией Грина уравнения Дирака. 
  Эффект Комптона. 
  Амплитуда рассеяния для процесса γe → γe. Кинематика процесса. Опыт Комптона – рассеяние рентгеновских фотонов на неподвижных электронах. Соударения лазерных фотонов с ультрарелятивистскими электронами на современных ускорителях.

• Лекция № 15 (часть 1, часть 2).

  Эффект Комптона и его применения. Угловое и энергетическое распределение конечных фотонов при соударении лазерных фотонов с ультрарелятивистскими электронами. Эксперименты на установке РОКК (рассеяние обратных комптоновских квантов) в ИЯФ им. Будкера (Новосибирск, 1997). Эксперименты по нелинейному эффекту Комптона на ускорителе SLAC (Стэнфорд, 1996). Проекты встречных фотонных пучков на основе линейных e⁺e^- коллайдеров с лазерной конверсией пучков электронов и позитронов в высокоэнергичные фотонные пучки. Использование эффекта Комптона для оперативного и высокоточного определения энергии электронов и позитронов на встречных e⁺e^- пучках. Основные характеристики процессов e⁺e^- → γγ и γγ → e⁺e^-при высоких энергиях.

• Семинар № 1 (часть 1, часть 2).

  Классические поля. Переход от дискретной к непрерывной системе на примере перехода от бесконечной цепочки с одинаковыми массами и пружинками к упругому стержню. Лагранжиан и гамильтониан для непрерывной системы. Уравнения Лагранжа и Гамильтона. Уравнения Лагранжа из принципа наименьшего действия для непрерывных систем. Одновременны́е скобки Пуассона. Лагранжиан для свободного действительного скалярного поля. Решение для уравнения Лагранжа. Коммутационное соотношение для a_k и a⁺_k.

• Семинар № 2 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4, часть 5, часть 6, часть 7, часть 8).

  Действительное и комплексное скалярные поля. Гамильтониан свободного скалярного поля через a_k, a⁺_k и b_k, b⁺_k. Внутренние симметрии. Сохраняющиеся токи и заряды. Действие операторов a_k, a⁺_k и b_k, b⁺_k. Уравнение Дирака. Лагранжиан и гамильтониан для спинорного поля. Решение уравнение Дирака для свободного поля.

• Семинар № 3 (часть 1, часть 2).

  Антикоммутационные соотношения для γ-матриц. Уравнение Дирака с электромагнитным полем. Спиральность. Оператор киральности и киральные состояния. Матрица γ⁵. Преобразования Лоренца. Отражения координат и времени.

• Семинар № 4 (часть 1, часть 2).

  Преобразование спинорных полей при преобразованиях Лоренца и при отражении координат. Преобразование билинейных комбинаций спинорных полей.

• Семинар № 5 (часть 1, часть 2).

  Зарядовое сопряжение. Преобразование спинорных полей при зарядовом сопряжении. Частица и античастица. Преобразование билинейных комбинаций спинорных полей при зарядовом сопряжении. C-, P- и CP-чётности и их несохранение. Преобразование Лагранжиана при C, P и CP. Матрица Кабиббо-Кобаяши-Маскава, число параметров.

• Семинар № 6 (часть 1, часть 2).

  Внутренние C-, P-чётности частиц. C-чётность фотона, π⁰-мезона, e⁺ e^-. P-чётность π⁰-мезона и π^--мезона. Преобразование спинорного поля при отражении времени. Лагранжиан взаимодействия нейтрального и заряженного скалярных полей. Амплитуда распада нейтральной скалярной частицы на две заряженные скалярные частицы. Диаграмма Фейнмана для этого распада. Вероятность распада.

• Семинар № 7 (часть 1, часть 2, часть 3)

  Лагранжиан для векторного массивного поля. Уравнение Прока́. Вектор поляризации. Матрица плотности. Суммирование по поляризациям. Распад ρ⁰ → π⁺π^-. Лагранжиан взаимодействия. Амплитуда распада. Диаграмма Фейнмана. Вероятность распада.

• Семинар № 8 (часть 1, часть 2).

  Распад бозона Хиггса на два фермиона. Амплитуда и вероятность распада. Диаграмма Фейнмана. Матрица плотности фермионного поля. Суммирование по поляризациям фермионного поля. Вычисление следа от γ-матриц.

• Семинар № 9 (часть 1, часть 2).

  T-произведение, нормальное произведение, хронологическое спаривание. Вычисление пропагатора для скалярного поля. Теорема Вика. Сечение. Рассеяние скалярных нейтральной и заряженной частиц. Амплитуда и диаграммы Фейнмана.

• Семинар № 10 (часть 1, часть 2).

  Вычисление сечения рассеяния нейтральной и заряженной частиц. Лагранжиан взаимодействия спинорной частицы с электромагнитным полем. Кулоновская калибровка для электромагнитного поля. Процесс e⁺ e^- → μ⁺ μ^-. Вычисление амплитуды процесса. Диаграмма Фейнмана. Пропагатор для электромагнитного поля.

• Семинар № 11 (часть 1, часть 2).

  Вычисление сечения реакции e⁺ e^- → μ⁺ μ^-, угловое распределение, полное сечение. Реакция e⁺ e^- → π⁺ π^-, угловое распределение.

• Семинар № 12 (часть 1, часть 2).

  Вычисление амплитуды e^- μ^- → e^- μ^- в нерелятивистском пределе. Связь между α и зарядом. Скалярная электродинамика. Лагранжиан взаимодействия скалярного и электромагнитного полей. Реакция γπ → γπ. Диаграммы Фейнмана для процесса γπ → γπ. Амплитуда рассеяния.

• Семинар № 13 (часть 1, часть 2).

  Вычисление сечения процесса γπ → γπ. Вычисление амплитуды процесса e^- e^- → e^- e^-. Диаграммы Фейнмана для e^- e^- → e^- e^-.

• Семинар № 14 (часть 1, часть 2).

  Вычисление сечения процесса e^- e^- → e^- e^-. Вычисление пропагатора для спинорных полей.

• Семинар № 15 (часть 1, часть 2).

  Вычисление амплитуды процесса γe → γe. Диаграммы Фейнмана. Классификация элементарных частиц. Кварки. Аромат и цвет кварков. Величина R. Мезоны и барионы. C- и P-чётности мезонов. Возможные состояния C- и P-чётности для мезонов.

• Семинар № 16 (часть 1, часть 2).

  Изотопический спин. Изотопические соотношения для процессов NN → dπ и πN → πN. Метод Шмушкевича, использование коэффициентов Клебша-Гордана и изотопически-инвариантных амплитуд. Волновые функции мезонов. SU(3)-симметрия. Неприводимые представления для мезонов. Октеты и синглеты псевдоскалярных и векторных мезонов.

• Семинар № 17 (часть 1, часть 2).

  Неприводимые представления в SU(3) для барионов. Октет и декуплет барионов. Волновые функции протона и нейтрона. Вычисление магнитных моментов протона и нейтрона.

• Лекция № 1 (часть 1, часть 2).

  Введение в основы гамильтоновой динамики. 
  Связь формализма Лагранжа и гамильтонова подхода. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона. Интеграл движения. Канонические преобразования. Производящая функция. Уравнение Гамильтона-Якоби. Разделение переменных. Интегрируемые системы. Переменные действие-угол. Интегралы движения.

• Лекция № 2 (часть 1, часть 2).

  Фазовое пространство многомерных систем. 
  Фазовое пространство, траектории. Основные свойства траекторий в фазовом пространстве. Теорема Лиувилля. Интегральные инварианты Пуанкаре. Расширенное фазовое пространство. Связь нестационарных и консервативных систем. Бильярд Синая. Интеграл действия. Сечения Пуанкаре. Инвариантные кривые. Системы с разделяющимися переменными. Инвариантный тор. Финитное и инфинитное движение, сепаратриса. Бифуркации. Области регулярного и хаотического движения.

• Лекция № 3 (часть 1, часть 2).

  Гамильтоновы системы и канонические отображения. 
  Метод канонических отображений для изучения временной эволюции гамильтоновых систем. Стандартное отображение Чирикова-Тейлора. Свойства стандартного отображения, его периодичность в фазовом пространстве, сетка нелинейных резонансов. Регулярная и хаотическая динамика. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ).

• Лекция № 4 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Линеаризованные уравнения. 
  Линеаризованное отображение, собственные значения и сохранение фазового объёма. Экспоненциальное разбегание траекторий, показатель Ляпунова. Неустойчивость хаотической динамики. Энтропия Колмогорова-Синая. Понятие динамического хаоса. Этапы хаотической динамики, баллистический и диффузионный режимы. Эргодичность. Практическая необратимость хаотической динамики.

• Лекция № 5 (часть 1, часть 2).

  Случайность и её численное моделирование. 
  Теория больших флуктуаций, обратимость во времени. Т-инвариантность гамильтоновой динамики и второй закон термодинамики.

  Диссипативный хаос, аттракторы. 
  Диссипативные системы. Три сценария перехода к хаосу. Модель Лоренца, cтранные аттракторы, режимы модели Лоренца. Реакция Белоусова. Логистическое отображение, перемежаемость, удвоение периода.

• Лекция № 6 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4).

  Нелинейная динамика многочастичных систем. 
  Несоизмеримые структуры, модель Френкеля-Конторовой (ФК). Связь модели ФК со стандартным отображением (СО), соответствие между режимами скольжения и запирания ФК и режимами регулярной и хаотической динамики в СО. Фазовый переход, ширина фононной щели, как параметр порядка и её связь с показателем Ляпунова. Энергетический спектр конфигурационных возбуждений, его фрактальная структура, экспоненциальная вырожденность основного состояния. Структура основного состояния, квазихаотичность возбуждённых состояний и локализация фононных мод.

• Лекция № 7 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Квантовая динамика систем, хаотических в классическом пределе. 
  Отличия динамики нелинейных систем в классическом и квантовом пределе. Отсутствие понятия траекторий, их экспоненциального разбегания. Дискретность спектра финитного движения, его принципиальная квазипериодичность. Линейность уравнения Шрёдингера и принципиальная обратимость квантовой динамики. Принцип соответствия Бора, квантовый псевдохаос.

  Квантовый аналог стандартного отображения. 
  Оператор квантовой эволюции – оператор Флоке. Классический предел. Численное моделирование квантовой эволюции, измеряемые величины. Этапы квантовой эволюции: баллистическая и диффузионная стадии. Сравнение диффузионной стадии в классическом и квантовом режимах. Квантовая локализация. Обратимость квантовой эволюции во времени.

• Лекция № 8 (часть 1, часть 2).

  Квантовый аналог стандартного отображения (продолжение). 
  Квантовые резонансы.

  Вероятностное описание хаотических систем. 
  Принцип соответствия Бора для систем, хаотических в классическом пределе. Гармонический осциллятор, пространство когерентных состояний. Функция Вигнера и её связь с классической плотностью в фазовом пространстве. Положительно-определённая функция Хусими, масштаб классических и квантовых эффектов. Функция Вигнера и вычисление квантовомеханических средних. Квантовое уравнение Лиувилля.

• Лекция № 9 (часть 1, часть 2, часть 3)

  Нелинейный осциллятор с периодическими толчками. 
  Классический случай, уравнения движения, режимы регулярной и хаотической динамики. От траекторий к функции распределения, свойства грубоструктурной функции распределения, её эволюция во времени, классический оператор Лиувилля. Квантовый режим, квантовый оператор Лиувилля. Дискретность спектра квантового оператора Лиувилля и гармоники функции Вигнера. Устойчивость и обратимость квантовой динамики, её пороговый характер по отношению к величине возмущения. Связь устойчивости со сложностью текущего квантового состояния. Влияние на устойчивость и обратимость квантовой эволюции непрерывного внешнего шума. Этапы квантовой эволюции, информационная энтропия Шеннона и энтропия фон Неймана. Принцип соответствия квантовой и классической динамики на различных этапах эволюции.

  Эргодичность квантовой эволюции и теория случайных матриц. 
  Предельная сложность и грубоструктурная схожесть квантовых состояний систем, хаотических в классическом пределе. Теория случайных матриц как гипотеза о грубоструктурной эргодичности квантовых состояний.

• Конспект лекций по спецкурсу "Двухфотонные процессы" (2014)
• Лекция № 1 (часть 1, часть 2).

  Введение. 
  Программа курса. Технические возможности и физические проблемы. Основные характеристики коллайдеров – ускорителей со встречными пучками: энергия, светимость, тип соударяющихся частиц. Протонные, электронные, фотонные и мюонные коллайдеры. Уравнения Максвелла и квантовая электродинамика. Рассеяние света на свете в соударениях реальных и виртуальных фотонов. Соударения высокоэнергичных космических фотонов с фотонами реликтового излучения. Эквивалентные фотоны и двухфотонные процессы на e⁺e^- накопительных кольцах. Сравнение с аннигиляционными процессами. Первые наблюдения двухфотонного процесса образования электрон-позитронной пары на ускорителе ВЭПП-2 (1970-71). Осознание того факта, что с ростом энергии процессы такого рода станут доминирующими и откроют путь к экспериментальному изучению новой физики (Балакин, Буднев, Гинзбург, 1970). Поток теоретических работ о процессах образования адронов в соударениях виртуальных и реальных фотонов. Первые опыты по наблюдению рождения адронных резонансов в SLAC (Abrams,...Telnov,..., 1979). Что достигнуто?

• Лекция № 2 (часть 1, часть 2).

  Что достигнуто? (продолжение). Исследованы: 
  C-чётные резонансы в реакции γ^*γ^* → R, где R = π⁰, η, η', f₂, a₂, η_c, χ_c,...; 
  полное сечение γγ → h до энергий W_γγ ~ 150 ГэВ; 
  полное сечение γ^*γ^* → h в области больших значений W_γγ² и виртуальностей фотонов –q₁² ~ –q₂² ~ 10 (ГэВ/с) ²; 
  эксклюзивные реакции γ^*γ^* → ππ, KK, pp, ρρ, ρω ... вблизи порога; 
  структурная функция фотона в области значений (–q²) до примерно 1000 ГэВ ²; 
  γγ → две, три, четыре струи.

  Линейные e⁺e^-, e^-e^- коллайдеры, их основные характеристики. Проекты TESLA и ILC. Самое важное отличие линейных коллайдеров от накопительных колец – однократность использования сгустков e⁺, e^-. Если конвертировать e → γ, то получим встречные γγ пучки с примерно теми же энергиями и светимостями, что и e⁺e^-. Идея фотонного коллайдера (Гинзбург, Коткин, Сербо, Тельнов, 1981). Эффект Комптона как базовый процесс для конверсии электронов в фотоны. Эксперименты в ИЯФ на установке РОКК (рассеяние обратных комптоновских квантов). Схема фотонного коллайдера. Основные свойства комптоновского процесса конверсии лазерных фотонов в фотоны высокой энергии.

• Лекция № 3 (часть 1, часть 2).

  Физика на фотонных коллайдерах. Физический потенциал таких γγ и γe коллайдеров будет на одном уровне с будущими e⁺e^- и pp коллайдерами. Более того, в решении ряда проблем фотонные коллайдеры будут вне конкуренции. Фотонные коллайдеры дадут возможность изучать как проблемы новой физики, так и проблемы "классической" адронной физики и КХД.

  Кинематика γγ соударений. 
  Поляризация соударяющихся фотонов. Ортонормировка векторов поляризации. Ковариантное описание. Полное сечение перехода γγ → X при циркулярной и линейной поляризации фотонов. Матрица плотности фотона и параметры Стокса.

• Лекция № 4 (часть 1, часть 2).

  Матрица плотности фотона и параметры Стокса (продолжение). Зависимость дифференциального и полного сечения процесса γγ → X от параметров Стокса.

  Кинематика γ^*γ^* соударений. 
  Если фотон виртуальный, q²<0, то у него появляется дополнительная возможность – его спиральность может принимать значения +1, 0 и –1. Мы будем называть состояние со спиральностью +1, –1 поперечным или T-фотоном, а состояние со спиральностью 0 скалярным или S-фотоном. Вектора поляризации виртуального фотона. Их нормировка и ортогональность.

• Лекция № 5 (часть 1, часть 2).

  Вектора поляризации виртуального фотона (продолжение). Их описание в ковариантной форме. Полные сечения процесса γ^*γ^* → X, их зависимость от виртуальностей фотонов при q₁², q₂² → 0.

  Однофотонный обмен. Метод эквивалентных фотонов (МЭФ). 
  Идея МЭФ – Ферми (1924) и Вайцзеккер, Вильямс (1934). Неупругое ep и γp рассеяние. Рассказ о встрече с Карлом Фридрихом фон Вайцзеккером и об истории изобретения метода Вайцзеккера-Вильямса. Связь сеченийep и γ^*p рассеяния.

• Лекция № 6 (часть 1, часть 2).

  Связь сечений ep и γ^*p рассеяния (продолжение). Сечения σ_T и σ_S – сечения поглощения T- и S-фотонов. Вычисление числа эквивалентных T- и S-фотонов. Область малых виртуальностей фотона. На массовой поверхности σ_T становится сечением фотопоглощения для реального неполяризованного фотона, а σ_S исчезает. Минимальные и максимальные значения виртуальности фотона Q² = –q² > 0. 
  Процесс eγ → eμ⁺μ^-.

• Лекция № 7 (часть 1, часть 2).

  Процесс eγ → eμ⁺μ^- (продолжение). Явный вид сечений σ_T и σ_S для этого процесса, их зависимость от Q². 
  МЭФ, компьютерная демонстрация силовых линий электрического поля быстро движущегося заряда, отклоняемого от прямолинейной траектории внешним магнитным полем. 
  Число эквивалентных фотонов в зависимости от энергии и виртуальности эквивалентного фотона. Интегрирование по виртуальности. Точность МЭФ.

  Применение МЭФ для описания тормозного излучения на встречных пучках. 
  Обычное тормозное излучение – хорошо изученный процесс с достаточно большим сечением. На встречных e⁺e^-и ep пучках он часто является нежелательным фоновым процессом. С другой стороны, большая величина сечения и малый угловой разброс фотонов этого процесса позволяют использовать его для измерения одного из важнейших параметров ускорителя – светимости (например, на ВЭПП-4, LEP и HERA). Стандартный расчёт процесса ep → epγ.

• Лекция № 8 (часть 1, часть 2).

  Стандартный расчёт процесса ep → epγ (продолжение). Главный вклад в сечение даётся областью малых виртуальностей эквивалентного фотона. В этой области рассматриваемая реакция может быть представлена как комптоновское соударение эквивалентного фотона (образованного протоном) с электроном. Сравнение с точным расчётом.

  Эффект конечных размеров пучков или МД-эффект. Этот эффект впервые был обнаружен на детекторе МД-1 ускорителя ВЭПП-4. В 1980-1981 годах проводилось детальное изучение процесса e⁺e^- → e⁺e^-γ при энергии пучков 2E_e = 3,6 ГэВ в широком интервале энергий фотона E_γ от 0,5 МэВ до E_γ ≈ E_e. Было обнаружено отклонение числа наблюдаемых фотонов от стандартного расчётного значения, достигающее 30 % в области малых энергий фотона и исчезающее в области больших энергий фотона. Качественное объяснение этого эффекта было дано Ю.А. Тихоновым, который обратил внимание на то, что прицельные параметры ρ, дающие существенный вклад в сечение при стандартном расчёте, достигают величины ρ_m ∼ 5 см, тогда как поперечный размер сгустка σ_⊥ ∼ 10^-3 см. Ограничение прицельных параметров значениями ρ ≤ σ_⊥ и объясняет наблюдаемый эффект.

• Лекция № 9 (часть 1, часть 2).

  Эффект конечных размеров пучков или МД-эффект (продолжение). Простые оценки уменьшения числа эквивалентных фотонов в логарифмическом приближении. Необходимость учёта этого процесса при расчёте времени жизни пучка и светимости коллайдеров, в том числе на LEP и B-фабриках. МД-эффект в процессах образования e⁺e^- пар в γe и e⁺e^- соударениях.

  Когерентное тормозное излучение. 
  Рассмотрим излучение при ep соударениях. Если энергия конечного фотона E_γ становится достаточно малой, то длина волны эквивалентного фотона λ_ЭФ ∼ ℏc/ω ∼ 4γ_e²ℏc/E_γ может сравняться с длиной протонного сгустка. В этих условиях поля́ эквивалентных фотонов от всех протонов перекрываются и излучение, вызванное взаимодействием электрона с разными протонами, когерентно усиливается – оно фактически определяется взаимодействием электрона с коллективным электромагнитным полем протонного сгустка. Если параметр 
  η = r_e N_p/(σ_x+σ_y) >> 1, то излучение в этом случае похоже на синхротронное излучение и называется пучковым излучением (beamstrahlung). Однако в большинстве накопительных колец, включая все pp, pp ускорители и ускорители со встречными пучками релятивистских тяжёлых ионов, параметр η ≲ 1. В этом случае движение излучающей частицы (в нашем примере, электрона) за время соударения может считаться почти прямолинейным, а его излучение существенно отличается от синхротронного, во многом оно похоже на обычное тормозное излучение – это и есть когерентное тормозное излучение (КТИ).

• Лекция № 10 (часть 1, часть 2).

  Когерентное тормозное излучение (продолжение). Простые оценки числа фотонов КТИ, возможность использования этого процесса для оперативного мониторирования пучков. Первые попытки применения или измерения КТИ на ускорителях RHIC, ВЭПП-4М и ВЭПП-2М.

  Двухфотонные процессы на e⁺e^- накопительных кольцах. 
  Двухфотонное образование частиц. Связь e⁺e^- и γ^*γ^* сечений. Предел малых виртуальностей фотонов. Особенности МЭФ для двухфотонных процессов. Светимость γγ соударений. Распределение светимости γγ соударений по инвариантной массе двух фотонов. Аналитический ответ.

• Лекция № 11 (часть 1, часть 2).

  Распределение светимости γγ соударений по инвариантной массе двух фотонов, конкретные примеры для ВЭПП-4М и LEP.

  Распределение по суммарному импульсу системы, образовавшейся в результате соударения двух эквивалентных фотонов. Специфическая особенность этого распределения – острое распределение по суммарному поперечному импульсу k_⊥. Вывод этого распределения в главном логарифмическом приближении для неполяризованных e⁺e^-пучков. Использование остроты этого распределения для разделения двухфотонных и аннигиляционных процессов на встречных пучках.

  Образование пар частиц. Вывод распределения по импульсам пары в главном логарифмическом приближении для неполяризованных e⁺e^- пучков. Распределение по углу раскомпланарности пары частиц.

• Лекция № 12 (часть 1, часть 2).

  Особенности двухфотонных процессов в pp соударениях. 
  Формфакторы протона и их зависимость от Q². Возможность наблюдения двухфотонных процессов в ppсоударениях, используя детекторы, регистрирующие протоны, рассеянные под очень малыми углами.

  Особенности двухфотонных процессов в соударениях тяжёлых ядер на ускорителях RHIC и LHC. 
  Формфакторы ядер и их зависимость от Q². Ограничения на энергию эквивалентных фотонов ω ≲ γ/R, где 1/R ∼ 30 МэВ. Образование e⁺e^- пар в свободном и свободно-связанном состоянии. Образование μ⁺μ^- пары с большой инвариантной массой.

• Лекция № 13 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Мягкие процессы в γγ соударениях. 
  Полное сечение γγ → hadrons. Простая оценка сечения. Модель векторной доминантности и реджевская модель. Сравнение с экспериментом.

• Лекция № 14 (часть 1, часть 2).

  Набор экспериментов по определению полного сечения γγ → hadrons. Опыты PLUTO и TASSO. Зависимость этого сечения от виртуальности фотонов q_i². Критика моделей, используемых в этих экспериментах. Опыты МД-1, система регистрации рассеянных электронов. Данные экспериментов на LEP и B-фабриках.

• Лекция № 15 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Квазиупругие дифракционные процессы γγ → V₁V₂, предсказания на основе модели векторной доминантности и реджевской модели.

  Пороговая и резонансная области. Сечение образования узких резонансов. Некоторые экспериментальные результаты. Процессы γγ → V₁V₂ в околопороговой области.

  Жёсткие процессы в γγ соударениях. 
  Инклюзивное образование адронов с большим поперечным импульсом. Струи адронов с большими поперечными импульсами.

• Лекция № 16 (часть 1, часть 2).

  Струи адронов с большими поперечными импульсами (продолжение). Процесс γγ → π⁺π^- с большими поперечными импульсами. Структурная функция протона и фотона. Экспериментальные данные. Распределение кварков внутри фотона.

  Понятие о полужёстких процессах в γγ и γ^*γ^* соударениях. 
  Полное сечение γ^*γ^* → hadrons в области больших значений W_γγ² и виртуальностей фотонов Q₁² ∼ Q₂² ≳ 10 GeV². БФКЛ-подход, первые эксперименты в этой области на LEP. Полужёсткие процессы γγ → M₁M₂ и γγ → M+ X.

• Лекция № 17 (часть 1).

  Обзорная лекция. 
  Основные черты γγ- и γe-коллайдеров на основе линейных ускорителей со встречными e⁺e^- пучками. Возможная физическая программа на γγ- и γe-коллайдерах.

• Лекция № 1 (часть 1, часть 2).

  Программа курса. Литература по курсу. Открытие ядра, эксперимент Резерфорда. Свойства протонов и нейтронов как элементов, из которых состоит ядро. При каких условиях можно говорить, что ядро состоит из протонов и нейтронов.

  Элементы теории рассеяния. Асимптотика волновой функции, амплитуда рассеяния, фазы рассеяния для центрального поля. S-матрица и её выражение через фазы рассеяния. Сечения упругого и неупругого рассеяния. Оптическая теорема.

  Рассеяние при малых энергиях. Длина рассеяния, её свойства. Рассеяние медленных нейтронов на протонах. Триплетная и синглетная длины рассеяния. Определение относительного знака этих длин рассеяния в когерентном рассеянии медленных нейтронов на молекулах орто- и пара-водорода.

• Лекция № 2 (часть 1, часть 2).

  Общий вид парциальной амплитуды. Резонансное рассеяние при малых энергиях. Приближение эффективного радиуса.

  Рассеяние при спин-орбитальном взаимодействии. Парциальное разложение. Общий вид амплитуды. Ультрарелятивистский предел. Рассеяние поляризованных частиц. Азимутальная асимметрия сечения упругого рассеяния. Поляризация частиц в конечном состоянии при рассеянии неполяризованных частиц.

  Рассеяние тождественных частиц. Амплитуда рассеяния для бозонов и фермионов. Протон-протонное рассеяние. Асимптотика волновой функции в кулоновском поле. Точная амплитуда рассеяния в кулоновском поле. Сечение протон-протонного рассеяния для неполяризованных частиц. Определение фаз ядерного рассеяния через кулон-ядерную интерференцию.

• Лекция № 3 (часть 1, часть 2).

  Свойства ядерных сил. Симметрии ядерного взаимодействия. Чётность, отражение времени. Оператор отражения времени для фермионов. Изоспин, изотопическая инвариантность. Ограничения из статистики на двухнуклонную волновую функцию.

  Построение потенциала ядерного взаимодействия. Центральные силы, спин-спиновые силы, тензорные силы, спин-орбитальные силы. Примеры потенциалов. Дейтрон, магнитный момент дейтрона, квадрупольный момент, энергия связи. Оценка глубины ямы из энергии связи дейтрона.

• Лекция № 4 (часть 1, часть 2).

  Волновая функция дейтрона. Спиновые функции для спина 1. Выражение для волновой функции дейтрона через оператор S₁₂. Система уравнений для радиальных волновых функций дейтрона. Оценка веса d-волны из магнитного момента дейтрона. Вычисление квадрупольного момента дейтрона.

• Лекция № 5 (часть 1, часть 2).

  Глобальные свойства ядер. Упругое рассеяние электронов на ядрах. Кинематика рассеяния ультрарелятивистских электронов. Моттовское сечение рассеяния в кулоновском поле. Рассеяние на ядре конечных размеров, формфакторы. Асимптотика формфакторов при малых q², среднеквадратичные зарядовые радиусы ядер. Асимптотика формфакторов при больших q². Примеры измеренных сечений рассеяния на ядрах. Распределение заряда внутри ядер. Дифракционное рассеяние нейтронов, распределение ядерного вещества внутри ядер.

• Лекция № 6 (часть 1, часть 2).

  Энергии связи ядер. Модель несжимаемой жидкой капли. Полуэмпирическая формула масс. Энергия симметрии, её природа. Долина стабильности ядер, отношение Z/А для стабильных ядер. Энергии отделения нейтронов и протонов. Границы стабильности по отношению к распаду с вылетом нейтронов и протонов.

  Колебания поверхности ядер. Динамические переменные, описывающие форму поверхности. Ограничения из несжимаемости, отсутствие дипольной моды. Кинетическая энергия колебаний, массовый параметр.

• Лекция № 7 (часть 1, часть 2).

  Потенциальная энергия колебаний. Вклад поверхностной энергии. Вклад кулоновских сил. Функции Лагранжа и Гамильтона. Квантование колебаний поверхности. Частоты колебаний в модели жидкой капли, сравнение с экспериментом. Граница устойчивости ядер по отношению к делению. Изовекторные моды колебаний. Гигантский резонанс.

• Лекция № 8 (часть 1, часть 2).

  Модели независимых частиц. Введение среднего поля. Модель ферми-газа. Величина энергии Ферми и импульса Ферми. Время жизни одночастичного состояния вблизи поверхности Ферми. Факты, указывающие на существование оболочек. Магические числа, энергии отделения протонов и нейтронов. Распространённость элементов. Потенциал трёхмерного гармонического осциллятора. Свойства волновых функций, оценка осцилляторной частоты.

• Лекция № 9 (часть 1, часть 2).

  Переход к сферическим квантовым числам. Сравнение спектров осциллятора и прямоугольной ямы. Роль спин-орбитального взаимодействия. Реалистическая схема одночастичных уровней. Потенциал Вудса-Саксона. Зависимость энергии одночастичных уровней от массового числа А. Оболочечные конфигурации. Частично-дырочная симметрия. Магнитные моменты нечётных ядер.

• Лекция № 10 (часть 1, часть 2).

  Деформированная модель оболочек. Одночастичные квадрупольные моменты нечётных ядер. Сравнение с измеренными квадрупольными моментами. Происхождение ядерной деформации. Коллективная модель. Адиабатическое приближение. Модель возникновения деформации.

• Лекция № 11 (часть 1, часть 2).

  Квадрупольная деформация. Области деформированных ядер. Описание квадрупольной деформации. Переход в систему, связанную с телом. Квадрупольные переменные формы. Эмпирическая деформация. Частица в деформированном потенциале. Квантовые числа. Анизотропный гармонический осциллятор. Асимптотические квантовые числа. Потенциал Нильссона. Зависимость одночастичных уровней от деформации.

• Лекция № 12 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Парные корреляции. Вторичное квантование. Фермиевские операторы рождения и уничтожения частиц. Оператор плотности числа частиц. Модель одного уровня. Физическое обоснование парных корреляций. Схема сеньорити (seniority). Вырожденная модель. Гамильтониан системы многих тел в представлении вторичного квантования. Редуцированный гамильтониан вырожденной модели. Определение энергетической щели через энергии связи соседних ядер.

• Лекция № 13 (часть 1, часть 2).

  Каноническое преобразование Боголюбова. Операторы квазичастиц. Теория БКШ (Бардина-Купера-Шриффера). Пробная волновая функция. Гамильтониан БКШ. Минимизация энергии. Решение для энергетической щели. Спектр возбуждений. Матричные элементы одночастичных операторов.

• Лекция № 14 (часть 1, часть 2).

  Электромагнитные процессы в ядрах. Гамильтониан электромагнитного взаимодействия. Операторный вид векторного потенциала. Излучение гамма-квантов. Матричные элементы процесса. Векторные сферические гармоники. Мультипольное разложение. Операторы электрических и магнитных мультиполей. Правила отбора. Приведённая вероятность перехода. Оценки приведённых вероятностей. Единицы Вайскопфа. Усиление переходов из коллективных состояний. Ядерная изомерия.

• Лекция № 15 (часть 1, часть 2).

  Явление внутренней конверсии. Оценка вероятности внутренней конверсии для s-электронов. Коэффициент внутренней конверсии.

  Слабое взаимодействие в ядрах. β-процессы. Эффективный гамильтониан слабого взаимодействия. Константа Ферми. Лептонные и адронные слабые токи. Гипотеза универсальности. Нерелятивистское приближение для адронных токов. Переходы Ферми и Гамова-Теллера.

• Лекция № 16 (часть 1, часть 2).

  Факторы запрета слабых переходов. Длинноволновое приближение. Мультипольные моменты для слабых процессов. Вычисление времени жизни по отношению к β-распаду для переходов Ферми. Учёт кулоновского взаимодействия вылетающего электрона с ядром. График Кюри. Влияние конечной массы нейтрино на спектр электронов. Соотношение fτ для β-распада.

• Лекция № 1 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Мотивация. Истоки – аналитическая теория S-матрицы, амплитуда Венециано. Этапы развития. Действие свободной бозонной струны. Классические уравнения движения и их общее решение. Конформная калибровка. Граничные условия и моды колебаний.

• Лекция № 2 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Алгебра связей, квантование. Безмассовые состояния и тахион. Фермионная струна: действие, уравнения движения, моды. Суперток и супералгебра связей.

• Лекция № 3 (часть 1, часть 2, часть 3).

  R и NS секторы открытой суперструны. Тензор энергии-импульса двумерного фермионного поля. Суперконформная алгебра.

• Лекция № 4 (часть 1, часть 2).

  Спиноры и алгебра Клиффорда. Спектр безмассовых мод и низкоэнергетическое приближение теории струн – супергравитация. Поля антисимметричных тензоров (дифференциальные формы). Лагранжиан и действие супергравитации типа IIA и IIB.

• Лекция № 5 (часть 1, часть 2).

  Взаимодействие струн. Струна во внешнем гравитационном поле. Вершинный оператор для излучения гравитона. Выражение для амлитуды рассеяния струн через вакуумное среднее от произведения вершинных операторов. Вершинные операторы для дилатона и антисимметричного тензорного поля. Формулировка на языке функционального интеграла. Взаимодействие открытых струн и калибровочных полей.

• Семинар № 1 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Алгебра γ-матриц . 
  Краткое введение: алгебра матриц γ^μ, матрица γ⁵, тензоры ε^{μ ν α β} и g^{μ ν} в группе Лоренца, γ-матрицы в D измерениях. 
  Задача вычисления сверток γ^μ Γ γ_μ для разных матриц Γ в размерности D=4+2ε. 
  Задача вычисления различных следов с γ-матрицами: рекуррентное выражение для следа Tr[γ^μ ₁ ...γ^μ _N ] и аналогия с теоремой Вика для фермионных операторов (структура спариваний в теореме Вика, полное число спариваний). Простейшие следы Tr[γ^μγ^ν], Tr[γ^μγ^ν γ^αγ^β], Tr[γ⁵γ^μγ^ν γ^αγ^β], нулевые следы и проч. Пакет FeynCalc. 
  Задача: вывод соотношения полноты для γ-матриц при D=4. Преобразование спиноров при лоренцевских преобразованиях, генераторы преобразований (напоминание). Пример: разложение произведения γ^μγ^α γ^ν по базису γ-матриц: γ^μγ^α γ^ν= g ^{μ α} γ^ν + g ^{ν α} γ^μ - g ^{μ ν} γ^α + i e ^{μ α ν β} γ_β γ ⁵. 
  Преобразования для γ-матриц при эрмитовом и комплексном сопряжении, а также при транспонировании.

• Семинар № 2 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Задача: доказать соотношение Tr[γ^μ₁γ^μ₂... γ^μ_N]= Tr[γ^μ_Nγ^μ_N-1... γ^μ₁].
  Доказательство теоремы Фарри в КЭД: сокращение вкладов от фермионных петель с нечетным числом фотонных концов. Связь с C-инвариантностью квантовой электродинамики. C-четность фотона. 
  Вывод тождеств Фирца из соотношения полноты для γ-матриц. 

  Пропагаторы бозонных и фермионных полей. 
  Нахождение пропагатора свободного безмассового скалярного поля в координатном представлении: α-параметризация знаменателей, виковский поворот, асимптотика массивного пропагатора при малых x. 
  Общий алгоритм нахождения (бозонных) пропагаторов исходя из лагранжиана теории на примере вывода свободного пропагатора фотона в ковариантной ξ - калибровке. Пропагаторы как функции Грина для дифференциальных операторов, входящих в уравнение движения поля.

• Семинар № 3 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Пропагаторы фотона и электрона (продолжение). 
  Задача: показать, основываясь на канонических коммутационных соотношениях, что пропагатор фотона D ^{μ ν}(x) в ковариантной калибровке с ξ=1 является функцией Грина оператора ∂²: ∂² D ^{μ ν}(x)=i g ^{μ ν} δ(x). 
  Задача: показать, основываясь на антикоммутационных соотношениях, что δ(x⁰-y⁰)[j⁰ (x),j^μ(y)]=0, где j^μ =:Ψ(x) γ^μΨ(x): - оператор электромагнитного тока.

  Унитарность S-матрицы в ковариантной калибровке.
  Физическое пространство фотонных состояний |Φ>: ∂_μA^μ+|Φ>=0, где A^μ+ - положительночастотная часть полевого оператора A^μ. Следствия соотношения [∂_μA^μ+, S]=0: физические состояния переходят в физические состояния, оператор эволюции S=Texp[i ∫ L_int d⁴ x] унитарен на физическом пространстве. 

• Семинар № 4 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Задача: доказать соотношение [∂_μA^μ+, S]=0. Доказательство леммы ∂^y_μ[A^μ+(y), A_ν(x)]= ∂^x _ν c(x-y), где A^μ+ - положительночастотная часть полевого оператора A^μ, а c(x-y) - некоторая функция разности (x-y). 
  Явная проверка того, что [∂_μA^μ+, S_N]=0, где S_N - член N-го порядка разложения T-экспоненты в S-матрице.

• Семинар № 5 (часть 1, часть 2).

  Рассеяние электрона во внешнем поле ядра. 
  Неполяризованный случай: подавление дифференциального сечения при рассеянии электрона назад. Поляризационная матрица плотности электрона. Истинная (физическая) поляризации электрона ξ_phys при рассеянии. Задача: найти физическую поляризацию электрона, рассеянного во внешнем поле ядра, если начальная поляризация электрона характеризуется вектором ξ_i (вектор среднего спина в системе покоя). Эффект поворота вектора поляризации. Отсутствие физической поляризации у конечного электрона в борновском приближении при рассеянии изначально неполяризованного пучка.

• Семинар № 6 (часть 1, часть 2).

  T-преобразование полей и T-инвариантность лагранжиана КЭД. 
  Задача: показать, что в борновском приближении при рассеянии неполяризованного пучка электронов поляризация не появляется. 
  Процессы рассеяния электронов на мюонах . 
  Задача: вычислить неполяризованное сечение e^- μ^- рассеяния. 
  Задача: вычислить неполяризованное сечение e⁺ e^- → μ⁺ μ^- (начало).

• Семинар № 7 (часть 1, часть 2).

  Задача: вычислить неполяризованное полное сечение e⁺ e^- → μ⁺ μ^- (окончание). Сечение μ⁺ μ^- → e⁺ e^-. 
  Задача: вычислить ширину распада ортомюония в e⁺ e^- пару. Резонансные сечения. Узкие резонансы. Сечение рождения ортомюония. 
  Задача: для процесса e⁺ e^- → μ⁺ μ^- найти в ультрарелятивистском пределе угловую зависимость спиральных амплитуд и неполяризованное полное сечение.

• Семинар № 8 (часть 1, часть 2).

  Гамильтониан Брейта. Позитроний. 
  Потенциал Брейта. Ортопозитроний (S=1) и парапозитроний (S=0). Тонкая структура уровней парапозитрония. 
  Задача: вычислить сдвиг уровней энергии δE_n,l в парапозитронии за счет потенциала Брейта.
  Напоминание (из квантовой механики): теорема Гельмана — Фейнмана, вычисление средних < n,l| 1/rⁿ |n,l > по собственным функциям |n,l > дискретного спектра гамильтониана водородоподобной системы H₀=p²/m-α/r.

• Семинар № 9 (часть 1, часть 2).

  Задача: явно проверить эрмитовость операторов в потенциале Брейта. 
  Задача: вычислить разницу энергий δE=E(³S₁)-E(¹S₀) основного состояния орто- и парапозитрония. 
  Задача: получить часть потенциала Брейта, отвечающую аннигиляционной диаграмме. Формула соответствия (извлечение потенциала из амплитуды рассеяния). Соотношение полноты и соотношение Фирца для σ-матриц Паули.

• Семинар № 10 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Задача: вычислить ширину распада ортопозитрония. Нерелятивистский предел для сечения e⁺ e^- → 3γ (начало). 

• Семинар № 11 (часть 1, часть 2).

  Нерелятивистский предел для сечения e⁺ e^- → 3γ (окончание). Вычисление ширины распада ортопозитрония. 
  Теорема Ландау (о невозможности состояния двух фотонов с полным моментом единица). 
  Задача: вычислить полное неполяризованное сечение комптоновского рассеяния γe → γe (см. также семинар № 15 курса Физика элементарных частиц).

• Семинар № 12 (часть 1, часть 2).

  Вычисление полного неполяризованного сечение комптоновского рассеяния γe → γe. Ультрарелятивистский и нерелятивистский пределы для данного сечения. Логарифмическое усиление в пределе больших энергий.

• Семинар № 13 (часть 1, часть 2).

  Мягкофотонное приближение. 
  Основная формула мягкофотонного приближения, функция F(ξ) и ее асимптотики. 
  Задача: доказать, что ω² dΩ - релятивистский инвариант (dΩ - телесный угол вылета фотона, ω - его частота).
  Задача: найти спектр мягких фотонов (dσ/dω) для процесса e⁺ e^- → μ⁺ μ^- γ. 
  Задача: найти спектр мягких фотонов для процесса тормозного излучения электрона на ядре. Вычисление в главном логарифмическом приближении. Нахождение минимальной передачи -t_min. 
  Задача: найти спектр мягких фотонов для процесса e^- e^- → e^- e^-γ (начало). 

• Семинар № 14 (часть 1, часть 2).

  Задача: найти спектр мягких фотонов для процесса e^- e^- → e^- e^-γ (окончание). 
  Задача: найти спектр мягких фотонов для двойного тормозного излучения e^- e^- → e^- e^-γ γ.
  Метод классических токов: выражение для S-матрицы, фактор для жесткого сечения без излучения мягких фотонов, инфракрасный и ультрафиолетовый регуляризатор частоты. Задача: вычислить фактор излучения одного мягкого фотона с полной энергией ω<Δ E, а также вычислить в главном логарифмическом приближении фактор излучения N мягких фотонов с суммарной энергией Σ ω _i <Δ E. Проследить сокращение инфракрасных расходимостей в сечении с излучением любого числа мягких фотонов с суммарной энергией < Δ E.

• Семинар № 15 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Задача: оценить радиационную поправку от излучения мягких фотонов с суммарной энергией Δ E для узгкого резонанса 1^{- -}, рожденного в e⁺ e^- столкновении. Случаи Δ E << Γ_R и Δ E > Γ_R. 
  Метод эквивалентных фотонов. 
  Общие формулы. Условия применимости. Максимальная поперечная передача импульса эквивалентного фотона 
  Задача: найти в логарифмическом приближении спектр фотонов для процесса тормозного излучения ультрарелятивистского электрона на ядре. Сравнить полученный ответ с мягкофотонным приближением.

• Семинар № 16 (часть 1, часть 2).

  Задача: найти спектр фотонов для процесса e^- e^- → e^- e^-γ при рассеянии ультрарелятивистского (E >> m) электрона на покоящемся электроне. Случаи ω' < m/2 и ω' > m/2 (ω ~ m параметрически). Неприменимость метода эквивалентных фотонов при ω ~ E. 
  Задача: найти (в логарифмическом приближении) полное сечение рождения электрон-позитронной пары в поле ядра (процесс Бете-Гайтлера) для случая, когда энергия фотона ω >> m.

• Семинар № 17 (часть 1, часть 2).

  Радиационные поправки. 
  Задача (алгебра знаменателей): вывести из α-представления общую формулу параметризации Фейнмана. 
  Задача (интегрирование в D измерениях): вывести простейшие формулы импульсного интегрирования в размерностной регуляризации D=4+2ε. 
  Задача: вычислить в однопетлевом приближении поляризационный оператор P_{μ ν} (q) (массовый оператор фотона). Поперечность поляризационного оператора P_{μ ν} (q)= (g^{μ ν} q²-q^μ q^ν) P(q²). Перенормированный оператор P_R(q²)=P(q²)-P(0). Предел -q²/m² >> 1 для P_R(q²).

• Семинар № 18 (часть 1, часть 2).

  Задача: вычислить мнимую часть (однопетлевого) поляризационного оператора. Нахождение мнимой части из явного ответа для P_R(q²) (см. семинар 17). Вычисление мнимой части с помощью правила Куткоского. Правило Куткоского и соотношение унитарности: связь вклада в P_R(q²) при q² >0 от рождения системы X и полного сечения e⁺ e^- → X. 
  Задача: найти вклад от рождения μ⁺ μ^--пары в однопетлевой поляризационный оператор P_R(q²). Дисперсионное соотношение с вычитанием. Явное выражение для вклада в P_R(q²) при q² < 0. 
  Задача: предел -q²/m² >> 1 для P_R(q²) и бег константы связи α_eff(q²).

• Семинар № 19 (часть 1, часть 2).

  Тождество Уорда. Определение констант перенормировки Z₁, Z₂ и Z₃ в КЭД. Дифференциальное тождество Уорда на вершинную функцию Γ^μ (p,p'). 
  Задача: показать исходя из тождества Уорда, что Z₁ = Z₂. Продемонстрировать дифференциальное тождество Уорда на борновском и однопетлевом уровне.

• Семинар № 20 (часть 1, часть 2).

  Общая структура вершинной функции Γ^μ (p,p'), формфакторы электрона F₁(q) и F₂(q). Тождество Гордона. 
  Задача: вычислить в однопетлевом приближении вклад в аномальный магнитный момент электрона: 
  F₂(0)=(g-2)/2=α/(2π).

• Семинар № 1 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4).

  Напоминание (из курса "Физика элементарных частиц"). 
  Изотопическая инвариантость. Общие замечания о флейворных симметриях SU(2) и SU(3). Изотопическая часть волновой функции π-мезона и протона. Трансформационные свойства спиноров и векторов. Реакция NN → dπ. Метод Шмушкевича, использование коэффициентов Клебша-Гордана и метод инвариантных амплитуд. Эффективный лагранжиан для реакции NN → dπ.

• Семинар № 2 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4).

  Реакция π N → π N: изотопическая SU(2)-инвариантная амплитуда. Эффективный лагранжиан. 
  G-четность. 
  Свойства G-четности: G-четность могут иметь лишь нестранные мезоны, т.е. s=B=0; [G, T_i]=0; формула G=C (-1)^T для нейтральных компонент изомультиплета. Правила отбора по G-четности. Иерархия законов, запрещающих распады: связь статистики и момента; P,C,T- четности; G-четность. Пример: P-неинвариантный эффективный лагранжиан распада ω → π⁺ π^- π⁰ (см. также семинар 3). Распад ρ → ππ: инвариантная амплитуда, эффективный лагранжиан, вычисление ширины распада ρ⁰ → π⁺ π^-. Эффективный лагранжиан πNN-взаимодействия.

• Семинар № 3 (часть 1, часть 2, часть 3).

  P-инвариантный эффективный лагранжиан распада ω → π⁺ π^- π⁰. 
  SU(3) флейворная симметрия: массовые формулы, ω-φ смешивание . 
  Классификация неприводимых представлений группы SU(3). Разложение на неприводимые тензоры в группе SU(3). Инвариантные тензоры δⁱ_j и ε^{i j k}. Октетные и синглетные представления для мезонов. 
  Массовая формула 4m²_K = m²_π+ 3 m²_η для октета псевдоскалярных мезонов: наивный кварковый счет, эффективный SU(3)-нарушающий лагранжиан δm²Tr[P²Y]. 
  Неприводимые представления для барионов: синглеты, октеты и декуплеты. Массовые формулы для октета барионов 1/2⁺.

• Семинар № 4 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Нахождение угла ω-φ смешивания. Идеальное ω-φ смешивание. 
  Модель векторной доминантности (МВД). 
  Допущения модели. Связь констант g_ρ, g_ω и g_φ. Вид амплитуды γ^* → X(hadrons) в МВД. 
  Вывод соотношения g_ρ=g_ρππ в МВД. 
  Нахождение отношения Γ_{ρ → πγ}/Γ_{ω → πγ} в МВД.

• Семинар № 5 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Калибровочная группа SU(N). Цветовая алгебра. 
  Общее замечание о калибровочных группах. Алгебра Ли группы Ли. Коммутационное соотношение. Структурные константы.
  Возможность нормировки генераторов Tr[t^at^b]= λ δ^{a b} в алгебре группы SU(N). Полная антисимметричность структурных констант f ^{a b c} = -i/λ Tr(t^a[t^b,t^c]) в этой нормировке. Квадратичный оператор Казимира C₂=t^at^a. 
  Общее замечание об операторах Казимира группы SU(N) и неприводимых представлениях: явный вид операторов Казимира, таблицы Юнга, неприводимые представления SU(N) на тензорах с определенной симметрией. 
  Соотношение полноты для генераторов t^a группы SU(N) в фундаментальном представлении. Нахождение C_F=(N²-1)/(2N). Вывод соотношения t^a t^b t^a = - t^b/(2N).
  Вывод соотношения t^a t^b= δ^{a b}/(2N)+ 1/2(d ^{a b c}+i f ^{a b c}) t^c для генераторов в фундаментальном представлении. Свойства символов d ^{a b c}: вещественность, полная симметричность, бесследовость.
  Вывод соотношения f ^{a b c} f ^{a b c'}= N δ^{c c'}. 
  Присоединенное представление для генераторов группы Ли. Тождество Якоби. Диаграммы цветовой алгебры.

• Семинар № 6 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4).

  Цветовая алгебра (продолжение). 
  Вывод соотношения d ^{a b c} d ^{a b c'}= (N²-4)/N δ^{c c'}. 
  Неприводимые тензоры в группе SU(3) и SU(N). Вывод формулы для размерности неприводимого представления (p,q) группы SU(3): dim (p,q)=(p+1)(q+1)(p+q+2)/2. Формула (без вывода) для размерности неприводимого представления в группе SU(N): пример для присоединенного представления группы SU(N). 
  Разложение на неприводимые в группе SU(3) на примере 6⊗6=15₁ ⊕ 15₂ ⊕ 6^*: тензорный метод и метод таблиц Юнга. Разложение N⊗N^*=1⊕(N²-1) группе SU(N).
  Взаимодействие кварка и антикварка на малых расстояниях: модификация константы кулоновского взаимодействия для синглетного и октетного состояния.

• Семинар № 7 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Кварконии: c-c системы (мезоны η_c и J/Ψ). 
  Оценка ширины распада η_c → γγ. Оценка ширины распада η_c → hadrons. Отношение этих двух ширин. Оценка α_S(m_c). Ширина распада η_c в адроны в водородоподобной модели. 
  Оценка ширины распада J/Ψ → e⁺ e^-. Ширина распада J/Ψ в адроны: однофотонный и трехглюонный механизмы. Оценка α_S(m_c) из сравнения Γ _{J/Ψ → hadrons}/Γ _{J/Ψ → e⁺ e^-}. Критика нерелятивистского приближения и водородоподобной модели в системе c-c. Общие слова о непертурбативных эффектах.

• Семинар № 8 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4).

  Радиационные переходы в c-c системах. 
  Магнитодипольные переходы. Оценка ширины распада J/Ψ → η_c+γ. Угловое распределение фотонов в случае "выстроенного" поляризационного состояния J/Ψ. 
  Электрические дипольные переходы. Угловые распределения фотонов в переходах Ψ_2S → χ_c0+γ, Ψ_2S → χ_c1+γ, Ψ_2S→ χ_c2+γ (нерелятивистское приближение для инвариантных амплитуд). Тензорные мезоны. Тензор поляризации. Формула суммирования по поляризациям для тензорных мезонов. Лоренц-инвариантный эффективный лагранжиан перехода Ψ_2S → χ_c2+γ. 
  Лагранжиан квантовой хромодинамики (КХД). Духи Фаддеева-Попова. Унитарность. 
  Калибровочные преобразования в КХД. Фиксация калибровки. Алгоритм нахождения лагранжиана духов. Лагранжиан духов для кулоновской калибровки. Правила Фейнмана для духов, следующие из этого лагранжиана.

• Семинар № 9 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4).

  Лагранжиан духов в аксиальной калибровке. Бездуховые калибровки. Выражение для суммы по физическим поляризациям глюонов. Унитарность S-матрицы в физическом пространстве. Соотношение унитарности для амплитуды qq → qq в четвертом порядке теории возмущений. Вычисление мнимой части (скачков) амплитуды с помощью правил Каткосского. Вывод простейших тождеств Славнова-Тейлора для амплитуд qq → gg и qq → cc. Роль духов в выполнении соотношения унитарности.

• Семинар № 10 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4).

  Функции Грина в квантовой теории поля (краткий обзор свойств). 
  Выражение для функций Грина через поля в представлении взаимодействия. Вычисление по теории возмущений. Представление функций Грина через континуальный интеграл. Производящий функционал. Редукционная формула Лемана-Симанчика-Циммермана. Связь вариации от функционала с вариацией действия в случае инвариантной функциональной меры: инвариантность функций Грина относительно преобразований, для которых δS=0. 
  Симметрия Бекки-Руе-Стора-Тютина (БРСТ). 
  БРСТ-симметрия для лагранжиана КЭД в лоренцевской калибровке. Проверка инвариантности действия КЭД относительно БРСТ-преобразования. БРСТ-инвариантость функций Грина. Пример: функция Грина "фотон-дух". Вывод из БРСТ-инвариантности этой функции Грина неперенормируемости продольной части фотонного пропагатора.

• Семинар № 11 (часть 1, часть 2).

  БРСТ-симметрия для лагранжиана КХД. Нильпотентность оператора БРСТ. Проверка инвариантности действия КХД в лоренцевской калибровке относительно БРСТ-преобразования. БРСТ-классификация состояний спектра: пространства H₀ (физические состояния), H₁ (антидухи и продольные глюоны) и H₂ (духи и глюоны, поляризованные "назад").
  БРСТ-инвариантость функций Грина в КХД. Пример: функция Грина "антидух-глюон-кварк-антикварк". Вывод соотношений, связывающих амплитуды qq → gg и qq → cc, из БРСТ-инвариантности этой функции Грина.

• Семинар № 12 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Вычисление β-функции в КХД в однопетлевом приближении. 
  Перенормировка полей и операторов лагранжиана КХД. Константы перенормировки и контрчлены. Перенормированная теория возмущений, новые контрчленные вершины, условия перенормировки. Выражение для g_R через константы перенормировки (для разных вершинных функций в лагранжиане КХД). Вершина взаимодействия глюон-кварк-антикварк. 
  Вычисление контрчлена δ₃(μ) (перенормировка глюонного поля) в размерной регуляризации в фейнмановской калибровке (ξ=1): условие перенормировки для поляризационного оператора, диаграмма с четырехглюонной петлей, диаграмма с фермионной петлей, диаграмма с петлей духов.

• Семинар № 13 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Вычисление контрчлена δ₃(μ) (продолжение): однопетлевая диаграмма с двумя глюонами. Калибровочная зависимость двухглюонного вклада и вклада духов. Восстановление поперечной структуры в поляризационном операторе для суммы диаграмм. 
  Вычисление контрчлена δ₂(μ) (перенормировка кваркового поля) в размерной регуляризации в фейнмановской калибровке (ξ=1): условие перенормировки, вычисление однопетлевого вклада. Калибровочная зависимость этого вклада.

• Семинар № 14 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4).

  Вычисление контрчлена δ₁(μ) (контрчлен вершины q-q-g) в размерной регуляризации в фейнмановской калибровке (ξ=1). Решение уравнения Гелл-Манна-Лоу для однопетлевой β-функции: зависимость α_S от μ, асимптотическая свобода. Свойства β-функции: сокращение коэффициента C_F, вклад скаляров в β-функцию, однопетлевая β-функция и ряд для α_S(μ) в главном логарифмическом приближении, различные способы вычисления β-функции.

• Семинар № 15 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Глубоконеупругое рассеяние. Уравнение Докшитцера-Грибова-Липатова-Альтарелли-Паризи (ДГЛАП). 
  Вычисление dn_g^g (число глюонов в глюоне): одноглюонный и двухглюонный вклады. Расходимости одноглюонного вклада. Уравнение ДГЛАП и его ядра в порядке α_S. Нахождение коэффициента перед δ(1-x) в P_g^g(x) из сохранения продольного импульса и в P_q^q(x) из сохранения заряда кварка в процессе фрагментации.

• Семинар № 16 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Уравнение ДГЛАП. Преобразование Меллина и его свойства. Моменты (меллиновские образы) ядер уравнения ДГЛАП: явные выражения и аналитические свойства. Синглетные и несинглетные моменты партонных плотностей. Решение уравнения ДГЛАП для несинглетных и синглетных моментов. Общее замечание о выводе уравнения ДГЛАП в партонной модели: лестничные диаграммы, упорядочивание по поперечным импульсам, суммирование в главном логарифмическом приближении.

• Семинар № 17 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4).

  Перенормировка составных операторов. 
  Перенормировка операторов O₁=:Ψ(x)Ψ(x):, O₂=:Ψ(x) γ^μ Ψ(x): и аномальные размерности этих операторов в КХД. Нулевые аномальные размерности сохраняющихся токов. 
  Перенормировка (пертурбативной) массы кварков в КХД: нахождение m_R(μ). Ренормгрупповая эволюция операторов (в случае отсутствия операторного смешивания): суммирование поправок в главном логарифмическом приближении уравнением ренормгруппы с однопетлевой аномальной размерностью. 
  Операторное смешивание на примере теории λ φ⁴ и операторов O₁=:∂^μφ(x) ∂_μφ(x): и O₂=:φ(x)∂²φ(x):. Матрица аномальных размерностей.

• Семинар № 18 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Операторы твиста два. 
  Несинглетные и синглетные операторы твиста два в операторном разложении глубоконеупругого рассеяния. Определения операторов твиста два в КХД. Функции Грина синглетных операторов. Операторное смешивание глюонного и фермионного операторов. Диаграммное представление. Борновские диагональные функции Грина. Контрчлены. Матрица аномальных размерностей в однопетлевом приближении. 
  Вычисление недиагонального матричного элемента γ_f,g в матрице аномальных размерностей (начало).

• Семинар № 19 (часть 1, часть 2, часть 3).

  Вычисление недиагонального матричного элемента γ_f,g в матрице аномальных размерностей операторов твиста два(продолжение). Выделение коэффициента перед одной из борновских структур глюонного оператора 
  -2δ^{a b} g^{α β}p^μ₁... p^μ_N. Однопетлевые расходящиеся вклады "треугольных" диаграмм для глюонной функции Грина фермионного оператора. Нахождение контрчлена δ_f,g(μ). Сравнение найденного матричного элемента γ_f,g с элементом A_f,g матрицы, входящей в уравнение ДГЛАП для синглетных моментов структурных функции. Ренормгрупповая эволюция операторов твиста два.

• Семинар № 20 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4).

  Операторное разложение в глубоконеупругом рассеянии. 
  Кинематика глубоконеупругого рассеяния. Адронный тензор W_μ,ν(x,Q²). Представление адронного тензора через коммутатор кварковых токов. Доминирование области вблизи светового конуса. Тензор T_μ,ν (часть амплитуды комптоновского γ^*-p рассеяния вперед). Оптическая теорема и связь W_μ,ν с мнимой частью T_μ,ν. Дисперсионное соотношение и разложение в нефизической (x>1) области дисперсионного интеграла. Связь структурных функций T_1,2 с моментами глубоконеупругих форм-факторов (F_1,2). Операторное разложение на световом конусе. Пример разложения для произведения скалярных токов. Коэффициенты Вильсона. Операторное разложение для тензора T_μ,ν. Правила сумм для моментов глубоконеупругих форм-факторов. Уравнение ренормгруппы для вильсоновских коэффициентов. Зависимость вильсоновских коэффициентов от Q²: аномальные размерностями операторов твиста два и поведение от Q² глубоконеупругих форм-факторов.

• Семинар № 21 (часть 1, часть 2, часть 3). 
  Зависимость вильсоновских коэффициентов от Q² (окончание). 
  Аномалия дивергенции аксиального векторного тока. 
  Вычисление "треугольной" аномалии Адлера-Белла-Джэкива в КЭД (начало): дивергенция аксиального тока на классическом уровне, поправки во втором порядке теории возмущений, регуляризация Паули-Вилларса, тождество Шутена (Schouten).
• Семинар № 22 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4). 
  Вычисление "треугольной" аномалии Адлера-Белла-Джэкива (окончание): аномалия как "патология" регуляризации Паули-Вилларса. Замечание о вычислении "треугольной" аномалии в размерной регуляризации, γ₅=i γ₀ γ₁ γ₂ γ₃. "Треугольная" аномалия для несинглетных и синглетных (по флейвору) аксиальных токов. Сокращение аномалий в киральных калибровочных теориях. 
  Матричный элемент несинглетного аксиального тока по вакууму и π-мезону. Константа f_π. Связь квадрата массы π-мезона и суммы масс u- и d-кварка. 
  Гипотеза частичного сохранения аксиального тока (ЧСАТ). Вычисление ширины распада π₀ → γ γ: феноменологический лагранжиан распада π₀ → γ γ и вклад π-мезонного резонанса в матричный элемент дивергенции аксиального несинглетного тока по вакууму и двум фотонам. Квадратичная зависимость ширины Γ_π0→2γ от N_c.

Наверх

• Лекция № 1 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4).
• Лекция № 2 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4).
• Лекция № 3 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4, часть 5).
• Лекция № 4 (часть 1, часть 2, часть 3, часть 4, часть 5).

Наверх

• lecture notes
• Lecture 1 (20.04.2015): part 1, part 2.
• Lecture 2 (21.04.2015): part 1, part 2, part 3.
• Lecture 3 (22.04.2015): part 1, part 2, part 3, part 4.
• Lecture 4 (23.04.2015): part 1, part 2, part 3.
• Lecture 5 (24.04.2015): part 1, part 2.

Наверх

• Лекция № 1 (читает к.ф.-м.н. А.С.Аракчеев) (YouTube)

  Уравнения Максвелла для слабо-нелинейной среды. 
  Нелинейные поправки к плотности тока в среде, тензоры проводимости и диэлектрической проницаемости второго порядка. Условия трёхволнового взаимодействия. Резонансное и нерезонансное трёхволновое взаимодействие.

• Лекция № 2 (YouTube)

  Описание распространения волнового пакета с медленно меняющейся амплитудой в слабо-нелинейной среде. Уравнения Бломбергена для трёх волновых пакетов в резонаторе. Закон сохранения энергии и соотношения Мэнли-Роу.

• Лекция № 3 (YouTube)

  Графический анализ решений уравнений Бломбергена. Уравнения Бломбергена с волной отрицательной энергии. Четырёхволновое взаимодействие, частный случай с одним волновым пакетом. Начало вывода нелинейного параболического уравнения.

• Лекция № 4

  Окончание вывода нелинейного параболического уравнения оптики. Исследование линейной устойчивости плоской волны конечной амплитуды. Самофокусировка и самосжатие волновых пакетов, критерий Лайтхилла. Самосжатие на качественном уровне.

• Лекция № 5

  Модель слабой волновой турбулентности в однородной среде. Матричные элементы взаимодействия волн. Приближение случайных фаз. Начало вывода кинетического уравнения для волн.

• Лекция № 6

  Кинетическое уравнение для волн. Вывод соотношений Мэнли-Роу и симметрии матричных коэффициентов из закона сохранения импульса при трёхволновом взаимодействии. Использование кинетического уравнения для квазилинейного моделирования спектров волновой турбулентности. 
  Гидродинамическая нелинейность. 
  Уравнение Хопфа. Координаты Лагранжа. Опрокидывание волн в среде без давления. «Простые волны» – нелинейный одномерный звук.

• Лекция № 7

  Решение уравнения Хопфа для «простых волн». «Опрокидывание» в звуке. Уравнение Бюргерса. Слабая ударная волна. Нелинейный звук с учётом диссипации. Законы сохранения на поверхности разрыва в идеальном газе. Классификация разрывов. Ударные волны. Ударная адиабата Гюгонио. Возрастание энтропии во фронте волны сжатия.

• Лекция № 8
• Лекция № 9
• Лекция № 10
• Лекция № 11
• Лекция № 12

  Теорема Жуковского. Связь подъёмной силы крыла и циркуляции. Постулат Чаплыгина-Жуковского. Задача обтекания тонкого крыла. Подъёмная сила плоской пластины.

• Лекция № 13

  Метод Галёркина дискретизации систем гидродинамического типа. Система уравнений Лоренца. Странный аттрактор и динамический хаос. Сценарии перехода к турбулентности. Развитая турбулентность. Спектр Колмогорова-Обухова.