(магистратура 1 курс, 2 сем., 32 ч., диф. зачет)

Лектор: Ст. преподаватель Тарнецкий Владимир Владимирович

Введение
Теория колебаний как методологическая дисциплина. Понятие динамической системы (ДС). Принципы идеализации ДС.

Колебания в линейных системах
Принцип суперпозиции. Линейный осциллятор. Резонанс. Связанные осцилляторы. Нормальные координаты. Цепочки связанных осцилляторов.

Теория устойчивости
Устойчивость по Ляпунову. Уравнения возмущенного движения. Устойчивость равновесного состояния и периодического движения. Второй (прямой) метод Ляпунова. Функции Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости. Первый метод Ляпунова. Устойчивость линейных и нелинейных систем.

Качественные методы теории колебаний
Фазовое пространство и фазовые траектории. Простые особые точки. Сепаратрисы. Типы движений в консервативных системах. Изохронность. Орбитальная устойчивость. Консервативная модель Вольтерра. Критерий Бендиксона. Индексы Пуанкаре. Предельные циклы на фазовой плоскости. Неавтономные системы. Синхронная многолистная фазовая плоскость. Методы построения фазовых траекторий.

Аналитические методы теории колебаний
Особенности аналитических методов. Метод малого параметра Пуанкаре. Нерезонансные вынужденные колебания. Задача Дюффинга. Модель Дюффинга и нелинейный резонанс. Собственные периодические колебания нелинейных систем. Вариационные методы. Асимптотические методы. Модель Ван-дер-Поля. Вращающаяся фазовая плоскость. Метод усреднения.

Литература

Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. М.: Наука, 1972.
Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1964.
Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964.
Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.
Фомель Б.М. Методы теории нелинейных колебаний. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1970.
Гольдин Л.Л. Физика ускорителей. М.: Наука, 1983.
Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.
Дополнительная литература

Николис Дж. Динамика иерархических систем. М.: Мир, 1989.
Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: 1950.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: 1969.
Литература для внеклассного чтения

Колмогоров А.Н. Избранные труды (математика и механика). М.: Наука, 1985.
Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978.
Рубин А.Б. Кинетика биологических процессов.
Ряшко Л.Б. Модели динамики популяции: от порядка к хаосу.
Динамика биологических популяций (Межвузовский сборник). Горький, 1988.
Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
Долгоносов Б.М. Нелинейная динамика экологических и гидрологических процессов. М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2009.
Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. М.: КомКнига, 2006.
Мелик-Гайказян И.В., Мелик-Гайказян М.В., Тарасенко В.Ф. Методология моделирования нелинейной динамики сложных систем. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
Постнов Д.Э., Павлов А.Н., Астахов С.В. Методы нелинейной механики. Саратов, 2008.
Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.
Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.
Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990.
Лорд Рэлей. Теория звука, том 1. М.: 1955.
Лорд Рэлей. Теория звука, том 2. М.: 1955.
Трубецкой Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001.
Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Дрофа, 2004.
Яблонский А.А., Норейко С.С. Курс теории колебаний. СПб.: Издательство Лань, 2003.
Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1987.
Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М: Наука, 1966.
Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1959.
Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1955.
Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1984.
Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.
Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.
Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ОГИЗ, 1947.
Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.
Галилео Галилей. Диалог о двух главнейших системах мира. М: ОГИЗ, 1948.
Ильин М.М., Колесников К.С., Саратов Ю.С. Теория колебаний. М: Издательство МГТУ, 2001
Статьи из Соросовского образовательного журнала, имеющие отношение к моделированию, динамическим системам и дифференциальным уравнениям

Неймарк Ю.И. Математика как операционная система и модели.
Маневич Л.И. Линейная и нелинейная математическая физика: от гармонических волн к солитонам.
Вишик М.И. Поля направлений и соответствующие им траектории.
Олейник О.А. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях.